Cho \(z = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right) - i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right)\) là một nghiệm của \(\sqrt[n]{1}\). Ma trận vuông \({A} = ({f_{k,j}})\) cấp n, với \({a_{k,j}} = {z^{(k - 1).(j - 1)}}\) được gọi là ma trận Fourier. Phép nhân Fn . X được gọi là phép biến đổi Fourier. Tìm biến đổi Fourier cấp 3.
\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 1&{ - 1}&{ - 1}\\ 1&1&z \end{array}} \right)\)
\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 1&{ - 1}&1\\ 1&{{z^2}}&z \end{array}} \right)\)
Ba câu kia đều sai
\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 1&z&{{z^2}}\\ 1&{{z^2}}&z \end{array}} \right)\)
Đáp án đúng: D
Theo đề bài, ma trận Fourier cấp n có dạng \(A = ({a_{k,j}})\) với \({a_{k,j}} = {z^{(k - 1).(j - 1)}}\), trong đó \(z = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right) - i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right)\).
Với n = 3, ta có \(z = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) - i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)\).
Khi đó ma trận Fourier cấp 3 là:
\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{z^{(1 - 1).(1 - 1)}}}&{{z^{(1 - 1).(2 - 1)}}}&{{z^{(1 - 1).(3 - 1)}}}\\ {{z^{(2 - 1).(1 - 1)}}}&{{z^{(2 - 1).(2 - 1)}}}&{{z^{(2 - 1).(3 - 1)}}}\\ {{z^{(3 - 1).(1 - 1)}}}&{{z^{(3 - 1).(2 - 1)}}}&{{z^{(3 - 1).(3 - 1)}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{z^0}}&{{z^0}}&{{z^0}}\\ {{z^0}}&{{z^1}}&{{z^2}}\\ {{z^0}}&{{z^2}}&{{z^4}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 1&z&{{z^2}}\\ 1&{{z^2}}&z \end{array}} \right)\) (vì \({z^4} = z.z^3=z\) và \(z^0=1\))
Vậy đáp án đúng là:
\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 1&z&{{z^2}}\\ 1&{{z^2}}&z \end{array}} \right)\)
Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!
Câu hỏi liên quan
Ta có công thức (I-2.u.uT).X = X - 2(uTX)u
Tính uTX = (1/3 -2/3 2/3).(1 -2 1)T = 1/3 + 4/3 + 2/3 = 7/3
=> (I-2.u.uT).X = (1 -2 1)T - 2*7/3*(1/3 -2/3 2/3)T
= (1 -2 1)T - (14/9 -28/9 28/9)T = (-5/9 -18/9+28/9 9/9-28/9)T
= (-5/9 10/9 -19/9)T
Vậy không có đáp án nào đúng
1. Tính ma trận AB:
\(AB = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&{ - 1}\\
2&3&2\\
{ - 3}&1&4
\end{array}} \right) \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{ - 1}&3\\
{ - 1}&4&0\\
3&{ - 1}&2
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2 - 2 - 3&{ - 1 + 8 + 1}&{3 + 0 - 2}\\
4 - 3 + 6&{ - 2 + 12 - 2}&{6 + 0 + 4}\\
{ - 6 - 1 + 12}&{3 + 4 - 4}&{ - 9 + 0 + 8}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 3}&8&1\\
7&8&{10}\\
5&3&{ - 1}
\end{array}} \right)\)
2. Tính tổng trị tuyệt đối của từng cột:
- Cột 1: |-3| + |7| + |5| = 3 + 7 + 5 = 15
- Cột 2: |8| + |8| + |3| = 8 + 8 + 3 = 19
- Cột 3: |1| + |10| + |-1| = 1 + 10 + 1 = 12
3. Tìm giá trị lớn nhất trong các tổng trên: max(15, 19, 12) = 19
Vậy, 1-chuẩn của ma trận AB là 19.
Các phép biến đổi sơ cấp trên hàng tương ứng với việc nhân ma trận A bên trái với một ma trận vuông cấp 3. Ta thực hiện các phép biến đổi trên ma trận đơn vị cấp 3 (\(I_3\)) để tìm ma trận cần tìm.
- Phép biến đổi 1: Cộng vào hàng 2, hàng 1 nhân với 3. Thực hiện trên \(I_3\) ta được ma trận: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\3&1&0\\0&0&1\end{array}} \right]\)
- Phép biến đổi 2: Đổi chỗ hàng 2 và hàng 3. Thực hiện trên ma trận vừa tìm được ta được ma trận: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\3&0&1\\0&1&0\end{array}} \right]\)
Vậy ma trận cần tìm là: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\3&0&1\\0&1&0\end{array}} \right]\)
- a1,1 = z(1-1)(1-1) = z0 = 1
- a1,2 = z(1-1)(2-1) = z0 = 1
- a2,1 = z(2-1)(1-1) = z0 = 1
- a2,2 = z(2-1)(2-1) = z1 = z = -1
Do đó, ma trận Fourier cấp 2 là \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 1&{-1} \end{array}} \right)\).
1. Tính ma trận AB:
\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 1}&2\\ 2&3&2\\ { - 3}&1&4 \end{array}} \right)\)
\(B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4&{ - 2}&0\\ { - 1}&2&0\\ 3&{ - 1}&2 \end{array}} \right)\)
\(AB = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} (3)(4) + (-1)(-1) + (2)(3) & (3)(-2) + (-1)(2) + (2)(-1) & (3)(0) + (-1)(0) + (2)(2) \\ (2)(4) + (3)(-1) + (2)(3) & (2)(-2) + (3)(2) + (2)(-1) & (2)(0) + (3)(0) + (2)(2) \\ (-3)(4) + (1)(-1) + (4)(3) & (-3)(-2) + (1)(2) + (4)(-1) & (-3)(0) + (1)(0) + (4)(2) \end{array}} \right)\)
\(AB = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 12 + 1 + 6 & -6 - 2 - 2 & 0 + 0 + 4 \\ 8 - 3 + 6 & -4 + 6 - 2 & 0 + 0 + 4 \\ -12 - 1 + 12 & 6 + 2 - 4 & 0 + 0 + 8 \end{array}} \right)\)
\(AB = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 19 & -10 & 4 \\ 11 & 0 & 4 \\ -1 & 4 & 8 \end{array}} \right)\)
2. Tính tổng trị tuyệt đối của mỗi hàng:
- Hàng 1: |19| + |-10| + |4| = 19 + 10 + 4 = 33
- Hàng 2: |11| + |0| + |4| = 11 + 0 + 4 = 15
- Hàng 3: |-1| + |4| + |8| = 1 + 4 + 8 = 13
3. Tìm giá trị lớn nhất trong các tổng này:
Giá trị lớn nhất là 33.
Vậy, \(\infty\)-chuẩn của ma trận AB là 33.
