Cho hàm số $y = \frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}$ . Vi phân của hàm số là:

A. $d y = \frac{- 4 x}{{(1 + x^{2})}^{2}} d x$

B. $d y = \frac{- 4}{{(1 + x^{2})}^{2}} d x$

C. $d y = \frac{- 4}{1 + x^{2}} d x$

D. $d y = \frac{- d x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Để tìm vi phân của hàm số

y = \frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}

, ta cần tính đạo hàm của hàm số này theo x, sau đó nhân với dx. Ta có:

y = \frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}

Áp dụng quy tắc đạo hàm của một thương, ta có:

y' = \frac{(1 - x^{2})' (1 + x^{2}) - (1 - x^{2}) (1 + x^{2})'}{{(1 + x^{2})}^{2}}

y' = \frac{- 2 x (1 + x^{2}) - (1 - x^{2}) 2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}

y' = \frac{- 2 x - 2 x^{3} - 2 x + 2 x^{3}}{{(1 + x^{2})}^{2}}

y' = \frac{- 4 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}

Vậy, vi phân của hàm số là:

d y = y' d x = \frac{- 4 x}{{(1 + x^{2})}^{2}} d x

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 3 có đáp án chi tiết - Phần 1

40 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 19:

Hàm số \[y = \frac{x}{{x - 2}}\]có đạo hàm cấp hai là:

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tìm đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \frac{x}{{x - 2}}\,$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm cấp nhất (y'):
Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức: $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}$. Trong trường hợp này, $u = x$ và $v = x - 2$.
Ta có $u' = 1$ và $v' = 1$.
Vậy, $y' = \frac{{1(x - 2) - x(1)}}{{{{(x - 2)}^2}}} = \frac{{x - 2 - x}}{{{{(x - 2)}^2}}} = \frac{{ - 2}}{{{{(x - 2)}^2}}}$.

2. Tìm đạo hàm cấp hai (y''):
Ta có $y' = -2(x - 2)^{-2}$.
Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp: $(u^n)' = n u^{n-1} u'$.
Vậy, $y'' = -2(-2)(x - 2)^{-3}(1) = 4(x - 2)^{-3} = \frac{4}{{{{(x - 2)}^3}}}$.

Vậy, đạo hàm cấp hai của hàm số là $y'' = \frac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^3}}}$.

Do đó, đáp án đúng là D.

Câu 20:

Hàm số \[y = {\left( {{x^2} + {\rm{ }}1} \right)^3}\] có đạo hàm cấp ba là:

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có:

\[\begin{array}{l}y' = 3.2x{\left( {{x^2} + 1} \right)^2} = 6x{\left( {{x^2} + 1} \right)^2}\\y'' = 6{\left( {{x^2} + 1} \right)^2} + 6x.2.2x\left( {{x^2} + 1} \right) = 6{\left( {{x^2} + 1} \right)^2} + 24{x^2}\left( {{x^2} + 1} \right)\\ = 6\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} + 1 + 4{x^2}} \right) = 6\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {5{x^2} + 1} \right)\\y''' = 6.2x\left( {5{x^2} + 1} \right) + 6\left( {{x^2} + 1} \right).10x = 12x\left( {5{x^2} + 1} \right) + 60x\left( {{x^2} + 1} \right)\\ = 60{x^3} + 12x + 60{x^3} + 60x = 120{x^3} + 72x = 24x\left( {5{x^2} + 3} \right)\end{array}\]

Vậy đáp án đúng là C.

Câu 21:

Hàm số $y = \sqrt {2x + 5} $ có đạo hàm cấp hai bằng:

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Câu 22:

Hàm số $y{\rm{ }} = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}$ có đạo hàm cấp 5 bằng:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tìm đạo hàm cấp 5 của hàm số $y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}$ ta thực hiện các bước sau:

1. Biến đổi hàm số:
Ta có thể viết lại hàm số như sau:
$y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = \frac{{{x^2} + x}}{{x + 1}} + \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{x(x + 1)}}{{x + 1}} + \frac{1}{{x + 1}} = x + \frac{1}{{x + 1}} = x + (x+1)^{-1}$

2. Tính đạo hàm cấp 1:
$y' = 1 - (x+1)^{-2}$

3. Tính đạo hàm cấp 2:
$y'' = 2(x+1)^{-3}$

4. Tính đạo hàm cấp 3:
$y''' = -6(x+1)^{-4}$

5. Tính đạo hàm cấp 4:
$y^{(4)} = 24(x+1)^{-5}$

6. Tính đạo hàm cấp 5:
$y^{(5)} = -120(x+1)^{-6} = -\frac{120}{{(x+1)^6}}$

Vậy, đạo hàm cấp 5 của hàm số là $y^{(5)} = -\frac{{120}}{{{{(x + 1)}^6}}}$.

Câu 23:

Hàm số $y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}$ có đạo hàm cấp $5$ bằng :

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có: $y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = x + \frac{1}{{x + 1}}$ suy ra $y' = 1 - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$

$y'' = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}$

$y''' = - \frac{{2.3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^4}}}$

${y^{\left( 4 \right)}} = \frac{{2.3.4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^5}}}$

${y^{\left( 5 \right)}} = - \frac{{2.3.4.5}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^6}}} = - \frac{{120}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^6}}}$

Vậy đáp án đúng là A.

Câu 24:

Hàm số $y = tanx$ có đạo hàm cấp $2$ bằng :

Lời giải: