Cho hàm số \(y = {\rm{sin2}}x\). Chọn khẳng định đúng
Đáp án đúng: B
Ta có:\(y = {\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}x\Rightarrow y' = 2sinx.cosx = sin2x\Rightarrow y'' = 2cos2x\)
Do đó: \(4y + y'' = 4{\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}x + 2cos2x = 4{\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}x + 2(1 - 2{\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}x) = 4{\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}x + 2 - 4{\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}x = 2 \ne 0\)
Vậy phương án B sai.
Xét phương án C:
Ta có: \(y'tan2x = sin2x.\frac{{sin2x}}{{cos2x}} = \frac{{{{\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}2x}}{{cos2x}} \ne {\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}x = y\)
Vậy phương án C sai.
Xét phương án D:
Ta có:\({y^2} = {\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{4}x;{\left( {y'} \right)^2} = {\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}2x = 4{\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}x{\mathop{\rm cos}}\nolimits.^{2}x\)
\( \Rightarrow {y^2} \ne {\left( {y'} \right)^2}\)
Vậy phương án D sai.
Xét phương án A:
Ta có:\(4y - y'' = 4{\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}x - 2cos2x = 4{\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}x - 2(1 - 2{\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}x) = 4{\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}x - 2 + 4{\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}x = 8{\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}x - 2 \ne 0\)
Vậy phương án A sai.
Tuy nhiên, nếu câu hỏi là chọn đáp án sai thì ta chọn đáp án B.
Nếu đáp án B sửa thành \[4y + y'' = 2\] thì đáp án B đúng.