Cho hàm số \(y = {\rm{sin}}x\). Chọn câu sai.

\[y' = \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)\].

\[y'' = \sin \left( {x + \pi } \right)\].

\[y''' = \sin \left( {x + \frac{{3\pi }}{2}} \right)\].

\[{y^{\left( 4 \right)}} = \sin \left( {2\pi - x} \right)\].

Trả lời:

Đáp án đúng: D

Ta có: + \(y' = \cos x = \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)\) nên A đúng. + \(y'' = -{\mathop{\rm sinx}} = {\mathop{\rm sin(x + \pi )}}\) nên B đúng. + \(y''' = -{\mathop{\rm cosx}} = -{\mathop{\rm sin}}\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) = {\mathop{\rm sin}}\left( {x + \frac{{3\pi }}{2}} \right)\) nên C đúng. + \({y^{(4)}} = {\mathop{\rm sinx}} = {\mathop{\rm sin(2\pi + x)}}\) nên D sai.

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 3 có đáp án chi tiết - Phần 1

40 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 26:

Hàm số \(y = \frac{{ - 2{x^2} + 3x}}{{1 - x}}\) có đạo hàm cấp \(2\) bằng :

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số \(y = \frac{{ - 2{x^2} + 3x}}{{1 - x}}\) ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm cấp 1:

\(y = \frac{{ - 2{x^2} + 3x}}{{1 - x}} = \frac{{2{x^2} - 3x}}{{x - 1}}\)

\(y' = \frac{{\left( {4x - 3} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {2{x^2} - 3x} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{4{x^2} - 7x + 3 - 2{x^2} + 3x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} - 4x + 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

2. Tính đạo hàm cấp 2:

\(y'' = \frac{{\left( {4x - 4} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2} - 2\left( {x - 1} \right)\left( {2{x^2} - 4x + 3} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}} = \frac{{\left( {4x - 4} \right)\left( {x - 1} \right) - 2\left( {2{x^2} - 4x + 3} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}\)

\(y'' = \frac{{4{x^2} - 8x + 4 - 4{x^2} + 8x - 6}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} = \frac{2}{{{{\left( {1 - x} \right)}^3}}}\)

Vậy, đạo hàm cấp 2 của hàm số là \(y'' = \frac{2}{{{{\left( {1 - x} \right)}^3}}}\).

Câu 27:

Cho hàm số \(y = {\rm{sin2}}x\). Chọn khẳng định đúng

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có:\(y = {\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}x\Rightarrow y' = 2sinx.cosx = sin2x\Rightarrow y'' = 2cos2x\)
Do đó: \(4y + y'' = 4{\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}x + 2cos2x = 4{\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}x + 2(1 - 2{\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}x) = 4{\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}x + 2 - 4{\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}x = 2 \ne 0\)

Vậy phương án B sai.

Xét phương án C:

Ta có: \(y'tan2x = sin2x.\frac{{sin2x}}{{cos2x}} = \frac{{{{\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}2x}}{{cos2x}} \ne {\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}x = y\)

Vậy phương án C sai.

Xét phương án D:

Ta có:\({y^2} = {\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{4}x;{\left( {y'} \right)^2} = {\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}2x = 4{\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}x{\mathop{\rm cos}}\nolimits.^{2}x\)

\( \Rightarrow {y^2} \ne {\left( {y'} \right)^2}\)

Vậy phương án D sai.

Xét phương án A:

Ta có:\(4y - y'' = 4{\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}x - 2cos2x = 4{\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}x - 2(1 - 2{\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}x) = 4{\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}x - 2 + 4{\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}x = 8{\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}x - 2 \ne 0\)

Vậy phương án A sai.

Tuy nhiên, nếu câu hỏi là chọn đáp án sai thì ta chọn đáp án B.

Nếu đáp án B sửa thành \[4y + y'' = 2\] thì đáp án B đúng.

Câu 28:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + x + 2}}{{x - 1}}\). Xét hai mệnh đề :

\(\left( I \right):y' = f'\left( x \right)\)\( = - 1 - \frac{2}{{{{(x - 1)}^2}}} < 0,\forall x \ne 1\).\(\left( {II} \right):y'' = f''\left( x \right)\)\( = \frac{4}{{{{(x - 1)}^2}}} > 0,\forall x \ne 1\).

Mệnh đề nào đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có \(y = f(x) = \frac{{ - {x^2} + x + 2}}{{x - 1}} = \frac{{( - x - 1)(x - 1)}}{{x - 1}} = - x - 1\) với \(x \ne 1\).

Khi đó:

\(y' = f'(x) = -1\) với \(x \ne 1\).

\(y'' = f''(x) = 0\) với \(x \ne 1\).

Vậy cả hai mệnh đề (I) và (II) đều sai.

Câu 29:

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\sin ^3}x + {x^2}\). Giá trị \(f''\left( {\frac{\pi }{2}} \right)\) bằng

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có:\[\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 3{\sin ^2}x\cos x + 2x\\f''\left( x \right) = 6\sin x{\cos ^2}x - 3{\sin ^3}x + 2\end{array}\]

Vậy \[f''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 6\sin \frac{\pi }{2}{\cos ^2}\frac{\pi }{2} - 3{\sin ^3}\frac{\pi }{2} + 2 = - 3 + 2 = - 1\]

Câu 30:

Cho hàm số \[y = {\left( {ax + b} \right)^5}\] với \(a\), \(b\) là tham số. Khi đó :

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có:
\(y' = 5a{\left( {ax + b} \right)^4}\)
\(y'' = 5.4{a^2}{\left( {ax + b} \right)^3}\)
\(y''' = 5.4.3{a^3}{\left( {ax + b} \right)^2}\)
\(y'''' = 5.4.3.2{a^4}\left( {ax + b} \right)\)
\(y''''' = 5!{a^5}\)
Do đó \({y^{\left( {10} \right)}}\left( 1 \right) = 0\).
Vậy đáp án đúng là A.

Câu 31:

Cho hàm số \(y = \sin 2x\). Tính \(y'''(\frac{\pi }{3})\), \({y^{(4)}}(\frac{\pi }{4})\)

Lời giải: