Hàm số \(y{\rm{ }} = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\) có đạo hàm cấp 5 bằng:

\({y^{(5)}} = - \frac{{120}}{{{{(x + 1)}^6}}}\).

\({y^{(5)}} = \frac{{120}}{{{{(x + 1)}^6}}}\).

\({y^{(5)}} = \frac{1}{{{{(x + 1)}^6}}}\).

\({y^{(5)}} = - \frac{1}{{{{(x + 1)}^6}}}\).

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Để tìm đạo hàm cấp 5 của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\) ta thực hiện các bước sau: 1. **Biến đổi hàm số:** Ta có thể viết lại hàm số như sau: \(y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = \frac{{{x^2} + x}}{{x + 1}} + \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{x(x + 1)}}{{x + 1}} + \frac{1}{{x + 1}} = x + \frac{1}{{x + 1}} = x + (x+1)^{-1}\) 2. **Tính đạo hàm cấp 1:** \(y' = 1 - (x+1)^{-2}\) 3. **Tính đạo hàm cấp 2:** \(y'' = 2(x+1)^{-3}\) 4. **Tính đạo hàm cấp 3:** \(y''' = -6(x+1)^{-4}\) 5. **Tính đạo hàm cấp 4:** \(y^{(4)} = 24(x+1)^{-5}\) 6. **Tính đạo hàm cấp 5:** \(y^{(5)} = -120(x+1)^{-6} = -\frac{120}{{(x+1)^6}}\) Vậy, đạo hàm cấp 5 của hàm số là \(y^{(5)} = -\frac{{120}}{{{{(x + 1)}^6}}}\).

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 3 có đáp án chi tiết - Phần 1

40 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 23:

Hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\) có đạo hàm cấp \(5\) bằng :

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có: \(y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = x + \frac{1}{{x + 1}}\) suy ra \(y' = 1 - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

\(y'' = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}\)

\(y''' = - \frac{{2.3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^4}}}\)

\({y^{\left( 4 \right)}} = \frac{{2.3.4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^5}}}\)

\({y^{\left( 5 \right)}} = - \frac{{2.3.4.5}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^6}}} = - \frac{{120}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^6}}}\)

Vậy đáp án đúng là A.

Câu 24:

Hàm số \(y = tanx\) có đạo hàm cấp \(2\) bằng :

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có \(y = tanx\)
\(y' = (tanx)' = \frac{1}{cos^2x}\)
\(y'' = (\frac{1}{cos^2x})' = (cos^{-2}x)' = -2cos^{-3}x . (cosx)' = -2cos^{-3}x . (-sinx) = \frac{2sinx}{cos^3x}\)
Vậy đáp án đúng là D

Câu 25:

Cho hàm số \(y = {\rm{sin}}x\). Chọn câu sai.

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có:
+ \(y' = \cos x = \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)\) nên A đúng.
+ \(y'' = -{\mathop{\rm sinx}} = {\mathop{\rm sin(x + \pi )}}\) nên B đúng.
+ \(y''' = -{\mathop{\rm cosx}} = -{\mathop{\rm sin}}\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) = {\mathop{\rm sin}}\left( {x + \frac{{3\pi }}{2}} \right)\) nên C đúng.
+ \({y^{(4)}} = {\mathop{\rm sinx}} = {\mathop{\rm sin(2\pi + x)}}\) nên D sai.

Câu 26:

Hàm số \(y = \frac{{ - 2{x^2} + 3x}}{{1 - x}}\) có đạo hàm cấp \(2\) bằng :

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số \(y = \frac{{ - 2{x^2} + 3x}}{{1 - x}}\) ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm cấp 1:

\(y = \frac{{ - 2{x^2} + 3x}}{{1 - x}} = \frac{{2{x^2} - 3x}}{{x - 1}}\)

\(y' = \frac{{\left( {4x - 3} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {2{x^2} - 3x} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{4{x^2} - 7x + 3 - 2{x^2} + 3x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} - 4x + 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

2. Tính đạo hàm cấp 2:

\(y'' = \frac{{\left( {4x - 4} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2} - 2\left( {x - 1} \right)\left( {2{x^2} - 4x + 3} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}} = \frac{{\left( {4x - 4} \right)\left( {x - 1} \right) - 2\left( {2{x^2} - 4x + 3} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}\)

\(y'' = \frac{{4{x^2} - 8x + 4 - 4{x^2} + 8x - 6}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} = \frac{2}{{{{\left( {1 - x} \right)}^3}}}\)

Vậy, đạo hàm cấp 2 của hàm số là \(y'' = \frac{2}{{{{\left( {1 - x} \right)}^3}}}\).

Câu 27:

Cho hàm số \(y = {\rm{sin2}}x\). Chọn khẳng định đúng

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có:\(y = {\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}x\Rightarrow y' = 2sinx.cosx = sin2x\Rightarrow y'' = 2cos2x\)
Do đó: \(4y + y'' = 4{\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}x + 2cos2x = 4{\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}x + 2(1 - 2{\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}x) = 4{\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}x + 2 - 4{\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}x = 2 \ne 0\)

Vậy phương án B sai.

Xét phương án C:

Ta có: \(y'tan2x = sin2x.\frac{{sin2x}}{{cos2x}} = \frac{{{{\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}2x}}{{cos2x}} \ne {\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}x = y\)

Vậy phương án C sai.

Xét phương án D:

Ta có:\({y^2} = {\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{4}x;{\left( {y'} \right)^2} = {\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}2x = 4{\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}x{\mathop{\rm cos}}\nolimits.^{2}x\)

\( \Rightarrow {y^2} \ne {\left( {y'} \right)^2}\)

Vậy phương án D sai.

Xét phương án A:

Ta có:\(4y - y'' = 4{\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}x - 2cos2x = 4{\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}x - 2(1 - 2{\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}x) = 4{\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}x - 2 + 4{\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}x = 8{\mathop{\rm sin}}\nolimits.^{2}x - 2 \ne 0\)

Vậy phương án A sai.

Tuy nhiên, nếu câu hỏi là chọn đáp án sai thì ta chọn đáp án B.

Nếu đáp án B sửa thành \[4y + y'' = 2\] thì đáp án B đúng.

Câu 28:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + x + 2}}{{x - 1}}\). Xét hai mệnh đề :

\(\left( I \right):y' = f'\left( x \right)\)\( = - 1 - \frac{2}{{{{(x - 1)}^2}}} < 0,\forall x \ne 1\).\(\left( {II} \right):y'' = f''\left( x \right)\)\( = \frac{4}{{{{(x - 1)}^2}}} > 0,\forall x \ne 1\).

Mệnh đề nào đúng?

Lời giải: