Chia ngẫu nhiên 9 hộp sữa (trong đó có 3 hộp kém phẩm chất) thành 3 phần bằng nhau. Xác suất để trong mỗi phần đều có 1 hộp sữa kém chất lượng:

Câu 20:

Ba xạ thủ cùng bắn 1 con thú (mỗi người bắn 1 viên đạn). Xác suất bắn trúng của từng người tương ứng là 0.6, 0.7, 0.8. Biết rằng nếu trúng 1 phát đạn thì xác suất để con thú bị tiêu diệt là 0.5, trúng 2 phát đạn thì xác suất để con thú bị tiêu diệt là 0.8, còn nếu trúng 3 phát đạn thì chắc chắn con thú bị tiêu diệt. Tính xác suất để con thú bị tiêu diệt:

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Gọi A, B, C là các biến cố xạ thủ thứ nhất, thứ hai, thứ ba bắn trúng con thú. Ta có P(A) = 0.6, P(B) = 0.7, P(C) = 0.8.
Gọi X là biến cố con thú bị tiêu diệt.
Ta cần tính P(X).

Ta có thể chia thành các trường hợp:
- Trúng 1 phát: P(X|1 phát) = 0.5
- Trúng 2 phát: P(X|2 phát) = 0.8
- Trúng 3 phát: P(X|3 phát) = 1

P(X) = P(X|1 phát) * P(1 phát) + P(X|2 phát) * P(2 phát) + P(X|3 phát) * P(3 phát)

Tính P(1 phát):
P(1 phát) = P(A) * P(B̅) * P(C̅) + P(A̅) * P(B) * P(C̅) + P(A̅) * P(B̅) * P(C)
= 0.6 * 0.3 * 0.2 + 0.4 * 0.7 * 0.2 + 0.4 * 0.3 * 0.8
= 0.036 + 0.056 + 0.096 = 0.188

Tính P(2 phát):
P(2 phát) = P(A) * P(B) * P(C̅) + P(A) * P(B̅) * P(C) + P(A̅) * P(B) * P(C)
= 0.6 * 0.7 * 0.2 + 0.6 * 0.3 * 0.8 + 0.4 * 0.7 * 0.8
= 0.084 + 0.144 + 0.224 = 0.452

Tính P(3 phát):
P(3 phát) = P(A) * P(B) * P(C) = 0.6 * 0.7 * 0.8 = 0.336

P(X) = 0.5 * 0.188 + 0.8 * 0.452 + 1 * 0.336
= 0.094 + 0.3616 + 0.336 = 0.7916

Vậy không có đáp án nào đúng trong các đáp án đã cho.

Câu 21:

Theo thống kê, một người Mỹ 25 tuổi sẽ sống thêm trên 1 năm có xác suất là 0,992 và xác suất người đó chết trong vòng 1 năm tới là 0,008. Một công ty bảo hiểm đề nghị người đó bảo hiểm sinh mạng cho 1 năm với số tiền chi trả là 4500 USD, chi phí bảo hiểm là 50 USD. Công ty thu lãi từ người đó:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Công ty bảo hiểm thu phí bảo hiểm là 50 USD. Xác suất công ty phải trả tiền bảo hiểm là 0,008 (xác suất người đó chết). Vậy, số tiền trung bình công ty phải trả là 0,008 * 4500 = 36 USD. Lãi của công ty là 50 - 36 = 14 USD.

Câu 22:

Trong hộp có 5 bi đánh số từ 1 đến 5 (các bi có cùng kích cỡ). Lấy ra ngẫu nhiên 2 bi. X là tổng số viết trên 2 bi lấy ra. Kỳ vọng M(X) bằng:

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Gọi X là tổng số trên hai bi lấy ra. Ta cần tính E(X). Có tổng cộng C(5,2) = 10 cách lấy ra 2 bi từ 5 bi.
Các cặp bi có thể lấy ra và tổng của chúng là:
(1,2): 3
(1,3): 4
(1,4): 5
(1,5): 6
(2,3): 5
(2,4): 6
(2,5): 7
(3,4): 7
(3,5): 8
(4,5): 9
Vậy, E(X) = (3+4+5+6+5+6+7+7+8+9)/10 = 60/10 = 6. Vậy kỳ vọng M(X) = 6.

Câu 23:

Một máy sản xuất sản phẩm với xác suất tạo phế phẩm là 0,005. Cho máy sản xuất 1000 sản phẩm và gọi X là số phế phẩm tạo được. X có thể xấp xỉ bằng phân phối nào?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Trong trường hợp này, ta có n = 1000 (số lượng sản phẩm) là lớn, và p = 0.005 (xác suất phế phẩm) là nhỏ. Khi n lớn và p nhỏ, phân phối nhị thức có thể được xấp xỉ bằng phân phối Poisson với tham số λ = np = 1000 * 0.005 = 5. Các phân phối khác (Chuẩn, Siêu bội, Student) không phù hợp trong trường hợp này.

Câu 24:

Một người có 3 chỗ ưa thích như nhau để câu cá. Xác suất câu được một con cá ở chỗ thứ nhất, thứ hai, thứ ba tương ứng là 0,6; 0,7; 0,8. Biết rằng ở mỗi chỗ, người đó đã thả câu 3 lần và có một lần câu được cá. Tính xác suất để đó là chỗ thứ nhất.

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Gọi $A_i$ là biến cố người đó chọn chỗ câu cá thứ $i$ (với $i = 1, 2, 3$). Gọi $B$ là biến cố người đó câu được cá một lần trong ba lần thả câu. Ta cần tính $P(A_1|B)$.

Vì người đó có 3 chỗ ưa thích như nhau, nên $P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = \frac{1}{3}$.

Theo giả thiết, xác suất câu được cá ở mỗi chỗ lần lượt là 0.6, 0.7, và 0.8. Vậy, xác suất câu không được cá ở mỗi chỗ lần lượt là 0.4, 0.3, và 0.2.

Xác suất câu được một con cá trong 3 lần thả câu tại chỗ thứ nhất là:
$P(B|A_1) = C_3^1 * (0.6)^1 * (0.4)^2 = 3 * 0.6 * 0.16 = 0.288$

Xác suất câu được một con cá trong 3 lần thả câu tại chỗ thứ hai là:
$P(B|A_2) = C_3^1 * (0.7)^1 * (0.3)^2 = 3 * 0.7 * 0.09 = 0.189$

Xác suất câu được một con cá trong 3 lần thả câu tại chỗ thứ ba là:
$P(B|A_3) = C_3^1 * (0.8)^1 * (0.2)^2 = 3 * 0.8 * 0.04 = 0.096$

Áp dụng công thức Bayes:
$P(A_1|B) = \frac{P(B|A_1) * P(A_1)}{P(B|A_1) * P(A_1) + P(B|A_2) * P(A_2) + P(B|A_3) * P(A_3)}$
$P(A_1|B) = \frac{0.288 * (1/3)}{0.288 * (1/3) + 0.189 * (1/3) + 0.096 * (1/3)} = \frac{0.288}{0.288 + 0.189 + 0.096} = \frac{0.288}{0.573} = \frac{288}{573} = \frac{96}{191} \approx 0.5026$

Vì không có đáp án nào trùng với kết quả tính toán, nên không có đáp án đúng trong các lựa chọn đã cho.

Câu 25:

Ba xạ thủ cùng bắn 1 con thú (mỗi người bắn 1 viên đạn). Xác suất bắn trúng của từng người tương ứng là 0,6; 0,7; 0,8. Biết rằng nếu trúng 1 phát đạn thì xác suất để con thú bị tiêu diệt là 0,5; trúng 2 phát đạn thì xác suất để con thú bị tiêu diệt là 0,8; còn nếu trúng 3 phát đạn thì chắc chắn con thú bị tiêu diệt. Tính xác suất để con thú bị tiêu diệt do trúng 2 phát đạn.

Lời giải: