Một người có 3 chỗ ưa thích như nhau để câu cá. Xác suất câu được một con cá ở chỗ thứ nhất, thứ hai, thứ ba tương ứng là 0,6; 0,7; 0,8. Biết rằng ở mỗi chỗ, người đó đã thả câu 3 lần và có một lần câu được cá. Tính xác suất để đó là chỗ thứ nhất.
Trả lời:
Đáp án đúng: A
Gọi $A_i$ là biến cố người đó chọn chỗ câu cá thứ $i$ (với $i = 1, 2, 3$). Gọi $B$ là biến cố người đó câu được cá một lần trong ba lần thả câu. Ta cần tính $P(A_1|B)$.
Vì người đó có 3 chỗ ưa thích như nhau, nên $P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = \frac{1}{3}$.
Theo giả thiết, xác suất câu được cá ở mỗi chỗ lần lượt là 0.6, 0.7, và 0.8. Vậy, xác suất câu không được cá ở mỗi chỗ lần lượt là 0.4, 0.3, và 0.2.
Xác suất câu được một con cá trong 3 lần thả câu tại chỗ thứ nhất là:
$P(B|A_1) = C_3^1 * (0.6)^1 * (0.4)^2 = 3 * 0.6 * 0.16 = 0.288$
Xác suất câu được một con cá trong 3 lần thả câu tại chỗ thứ hai là:
$P(B|A_2) = C_3^1 * (0.7)^1 * (0.3)^2 = 3 * 0.7 * 0.09 = 0.189$
Xác suất câu được một con cá trong 3 lần thả câu tại chỗ thứ ba là:
$P(B|A_3) = C_3^1 * (0.8)^1 * (0.2)^2 = 3 * 0.8 * 0.04 = 0.096$
Áp dụng công thức Bayes:
$P(A_1|B) = \frac{P(B|A_1) * P(A_1)}{P(B|A_1) * P(A_1) + P(B|A_2) * P(A_2) + P(B|A_3) * P(A_3)}$
$P(A_1|B) = \frac{0.288 * (1/3)}{0.288 * (1/3) + 0.189 * (1/3) + 0.096 * (1/3)} = \frac{0.288}{0.288 + 0.189 + 0.096} = \frac{0.288}{0.573} = \frac{288}{573} = \frac{96}{191} \approx 0.5026$
Vì không có đáp án nào trùng với kết quả tính toán, nên không có đáp án đúng trong các lựa chọn đã cho.
