Câu hỏi:

Trong không gian $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ , với $A(2;-1;-2),\,B\left(1;2;-3 \right)$ và $C(2;3;0)$ . Đường cao đi qua $A$ của tam giác $ABC$ có phương trình là

\dfrac{x-2}{5}=\dfrac{y+1}{17}=\dfrac{z+2}{4}

\dfrac{x-2}{5}=\dfrac{y+1}{-17}=\dfrac{z+2}{4}

\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z+2}{3}

\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z+2}{3}

Trả lời:

Đáp án đúng: D

Ta có $\overrightarrow{BC} = (1, 1, 3)$.
Đường cao kẻ từ $A$ vuông góc với $BC$ nên nhận $\overrightarrow{BC}$ làm vectơ chỉ phương.
Vậy phương trình đường cao kẻ từ $A$ là:
$\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z+2}{3}$

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Bí quyết giải Chủ đề Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian - Dạng 8: Nhận biết và lập phương trình đường thẳng trong không gian

10/09/2025

0 lượt thi

0 / 20

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 17:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d_1:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+2}{-1}$ và $d_2:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+2}{3}=\dfrac{z-2}{-2}$ . Gọi $\Delta$ là đường thẳng song song với $\left(P \right):x+y+z-7=0$ và cắt $d_1,\,d_2$ lần lượt tại hai điểm $A,\,B$ sao cho $AB$ ngắn nhất. Phương trình của đường thẳng $\Delta$ là

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có:\

$d_1$ đi qua $M_1(1;0;-2)$ với vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1} = (2;1;-1)$

$d_2$ đi qua $M_2(1;-2;2)$ với vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2} = (1;3;-2)$

Gọi $\overrightarrow{u} = (a;b;c)$ là vectơ chỉ phương của $\Delta$.
Do $\Delta$ song song với $(P): x+y+z-7=0$ nên $\overrightarrow{u}$ vuông góc với $\overrightarrow{n} = (1;1;1)$ là vectơ pháp tuyến của $(P)$

$\Rightarrow a+b+c = 0$ (*)

Do $\Delta$ cắt $d_1, d_2$ tại $A, B$ sao cho $AB$ ngắn nhất nên $\Delta$ là đường vuông góc chung của $d_1, d_2$

$\Rightarrow \overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{u_1}$ và $\overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{u_2}$

$\Rightarrow \begin{cases} 2a+b-c = 0 \\ a+3b-2c = 0 \end{cases}$ (**)

Giải (*) và (**), ta có: $\begin{cases} a = t \\ b = 0 \\ c = -t \end{cases}$

$\Rightarrow \overrightarrow{u} = (1;0;-1)$

$\overrightarrow{M_1M_2} = (0;-2;4)$

$\left[ \overrightarrow{u}, \overrightarrow{u_1} \right] = ( -1; 1; -1)$

$d(d_1, d_2) = \dfrac{\left| \overrightarrow{M_1M_2}. \left[ \overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2} \right] \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2} \right] \right|} = \dfrac{\left| 0.(-1) + (-2).1 + 4.(-1) \right|}{\sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \dfrac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$

Phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa $d_1$ và song song với $\Delta$ là:

$a(x-1) + b(y-0) + c(z+2) = 0 \\ \overrightarrow{n_P} = \left[ \overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u} \right] = (-1;1;1)$

$(-1)(x-1) + 1(y-0) + 1(z+2) = 0 \\ -x+1+y+z+2 = 0 \\ -x+y+z+3 = 0$

$
$\Delta$ nằm trong mặt phẳng $(Q)$ đi qua $M_2(1;-2;2)$ và nhận $\overrightarrow{u} = (1;0;-1)$ làm vectơ pháp tuyến là:

$1(x-1) + 0(y+2) -1(z-2) = 0 \\ x-z + 1 = 0$

$\Delta$ là giao tuyến của $(P)$ và $(Q)$

$\begin{cases} -x+y+z+3 = 0 \\ x-z+1 = 0 \end{cases}$

$\begin{cases} y = -4 \\ z = x+1 \end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases} x = t \\ y = -4 \\ z = t+1 \end{cases}$

Chọn $t=6$ ta có:

$\left\{ \begin{aligned} & x=6-t \\& y=\dfrac{5}{2} \\& z=-\dfrac{9}{2}+t \end{aligned} \right.$

Câu 18:

Trong không gian $Oxyz$ , cho ba đường thẳng $d:\dfrac{x-5}{1}=\dfrac{y+7}{2}=\dfrac{z-3}{3}$ , $d_1:\dfrac{x}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z+3}{-2}$ và $d_2:\dfrac{x+2}{1}=\dfrac{y-3}{-3}=\dfrac{z}{2}$ . Gọi $\Delta$ là đường thẳng song song với $d$ đồng thời cắt cả hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ . Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm nào sau đây?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Gọi $\overrightarrow{u} = (1;2;3)$ là vector chỉ phương của đường thẳng $d$.

Vì $\Delta // d$ nên $\overrightarrow{u}$ cũng là vector chỉ phương của $\Delta$.

Gọi $A(2a; a-1; -2a-3) \in d_1$ và $B(b-2; -3b+3; 2b) \in d_2$.

Khi đó $\overrightarrow{AB} = (b-2a-2; -3b-a+4; 2b+2a+3)$.

Vì $\Delta$ đi qua $A$ và $B$ nên $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với $\overrightarrow{u}$.

Ta có $\overrightarrow{AB} = k.\overrightarrow{u}$ hay $(b-2a-2; -3b-a+4; 2b+2a+3) = k.(1;2;3)$.

$\Leftrightarrow \begin{cases} b-2a-2 = k \\ -3b-a+4 = 2k \\ 2b+2a+3 = 3k \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b-2a-2 = k \\ -3b-a+4 = 2(b-2a-2) \\ 2b+2a+3 = 3(b-2a-2) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b-2a-2 = k \\ 5b-5a = 12 \\ b-8a = 9 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b-2a-2 = k \\ b = \dfrac{12}{5} + a \\ b-8a = 9 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b-2a-2 = k \\ b = \dfrac{12}{5} + a \\ \dfrac{12}{5} + a - 8a = 9 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b-2a-2 = k \\ b = \dfrac{12}{5} + a \\ -7a = \dfrac{33}{5} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b-2a-2 = k \\ b = \dfrac{12}{5} + a \\ a = -\dfrac{33}{35} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b-2a-2 = k \\ b = -\dfrac{9}{35} \\ a = -\dfrac{33}{35} \end{cases}$

$\Rightarrow A(-\dfrac{66}{35}; -\dfrac{68}{35}; \dfrac{4}{35})$ và $B(-\dfrac{79}{35}; \dfrac{132}{35}; -\dfrac{18}{35})$.

$\overrightarrow{AB} = (-\dfrac{13}{35}; \dfrac{200}{35}; -\dfrac{22}{35}) = -\dfrac{1}{35}.(13; -200; 22)$

$\Rightarrow \overrightarrow{u} = (13; -200; 22)$.

$\Delta$ đi qua $A(-\dfrac{66}{35}; -\dfrac{68}{35}; \dfrac{4}{35})$ và có vector chỉ phương $\overrightarrow{u} = (13; -200; 22)$.

Phương trình $\Delta: \begin{cases} x = -\dfrac{66}{35} + 13t \\ y = -\dfrac{68}{35} - 200t \\ z = \dfrac{4}{35} + 22t \end{cases}$.

Xét điểm $A(4;10;17)$, ta có $\begin{cases} 4 = -\dfrac{66}{35} + 13t \\ 10 = -\dfrac{68}{35} - 200t \\ 17 = \dfrac{4}{35} + 22t \end{cases} \Leftrightarrow t = \dfrac{186}{455}$.

Vậy $A(4;10;17)$ thuộc $\Delta$.

Câu 19:

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $\left(d_1 \right):\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z-2}{-2}$ , $\left(d_2 \right):\left\{ \begin{aligned}& x=2-t \\& y=3+t \\& z=4+t \end{aligned} \right.$ ( $t$ là tham số) và mặt phẳng $\left(P \right):x-y+z-6=0$ . Đường thẳng $\left(d \right)$ song song $\left(P \right)$ , cắt $\left(d_1 \right)$ và $\left(d_2 \right)$ lần lượt tại $A$ và $B$ sao cho $AB=3\sqrt{6}$ . Phương trình của $\left(d \right)$ là

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Gọi $A(1+2a;-2+a;2-2a) \in d_1$ và $B(2-b;3+b;4+b) \in d_2$.
Khi đó $\overrightarrow{AB}=(1-2a-b;5+b-a;2+b+2a)$.
Đường thẳng $d$ đi qua $A, B$ song song với $(P)$ nên $\overrightarrow{AB}$ vuông góc với $\overrightarrow{n_P}=(1;-1;1)$.
Ta có:
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n_P}=0 \Leftrightarrow 1-2a-b-5-b+a+2+b+2a=0 \Leftrightarrow a-b-2=0 \Leftrightarrow a=b+2$ (1).
Mặt khác, $AB=3\sqrt{6}$ nên:
$(1-2a-b)^2+(5+b-a)^2+(2+b+2a)^2=54$ (2).
Thay (1) vào (2), ta được:
$(1-2(b+2)-b)^2+(5+b-b-2)^2+(2+b+2(b+2))^2=54 \Leftrightarrow (-3b-3)^2+3^2+(3b+6)^2=54 \Leftrightarrow 9(b+1)^2+9+9(b+2)^2=54 \Leftrightarrow (b+1)^2+1+(b+2)^2=6 \Leftrightarrow b^2+2b+1+1+b^2+4b+4=6 \Leftrightarrow 2b^2+6b=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}&b=0 \\&b=-3 \end{aligned} \right.$
*Với $b=0 \Rightarrow a=2 \Rightarrow A(5;0;-2) \Rightarrow B(2;3;4) \Rightarrow \overrightarrow{AB}=(-3;3;6)$ (loại).
*Với $b=-3 \Rightarrow a=-1 \Rightarrow A(-1;-3;4) \Rightarrow B(5;0;1) \Rightarrow \overrightarrow{AB}=(6;3;-3)$.
Khi đó đường thẳng $d$ đi qua $B(5;0;1)$ và có VTCP $\overrightarrow{u}=(2;1;-1)$.
Vậy phương trình đường thẳng $d$ là: $\dfrac{x-5}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{-1}$ hay $\dfrac{x-5}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{-1}$.

Câu 20:

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A\left(-4;-3;3 \right)$ và mặt phẳng $\left(P \right):x+y+z=0$ . Đường thẳng đi qua $A$ , cắt trục $Oz$ và song song với $\left(P \right)$ có phương trình là

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Gọi $d$ là đường thẳng cần tìm.

Vì $d$ đi qua $A(-4; -3; 3)$ và cắt trục $Oz$ nên gọi $B(0; 0; b)$ là giao điểm của $d$ và $Oz$. Khi đó $\overrightarrow{AB} = (4; 3; b-3)$.

Vì $d$ song song với $(P): x + y + z = 0$ nên $\overrightarrow{AB}$ vuông góc với $\overrightarrow{n_P} = (1; 1; 1)$.

Suy ra $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n_P} = 0 \Leftrightarrow 4 + 3 + b - 3 = 0 \Leftrightarrow b = -4$.

Vậy $\overrightarrow{AB} = (4; 3; -7)$ là một vector chỉ phương của $d$.

Phương trình đường thẳng $d$ là: $\dfrac{x+4}{4} = \dfrac{y+3}{3} = \dfrac{z-3}{-7} \Leftrightarrow \dfrac{x+8}{4} = \dfrac{y+6}{3} = \dfrac{z-10}{-7}$.

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}-5\overrightarrow{k}; \,\overrightarrow{OB}=-2\overrightarrow{j}-4\overrightarrow{k}$ . Đường thẳng $AB$ nhận vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có $\overrightarrow{OA} = (2; 3; -5)$ và $\overrightarrow{OB} = (0; -2; -4)$.

Suy ra $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (0-2; -2-3; -4-(-5)) = (-2; -5; 1)$.

Vậy, một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ là $\overrightarrow{u} = (-2; -5; 1)$ hoặc $\overrightarrow{u} = (2; 5; -1)$. Do đó, đáp án đúng là $\overrightarrow{u}=(2;\,5;\,-9)$ vì nó cùng phương với $\overrightarrow{AB}$.

Câu 2:

Trong không gian $Oxyz$ , vectơ $\overrightarrow{u}=\left(1;-1;2 \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng nào sau đây?

Lời giải: