JavaScript is required

Câu hỏi:

Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho hai đường thẳng d1:x−12=y1=z+2−1d_1:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+2}{-1} và d2:x−11=y+23=z−2−2d_2:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+2}{3}=\dfrac{z-2}{-2}. Gọi Δ\Delta là đường thẳng song song với (P):x+y+z−7=0\left(P \right):x+y+z-7=0 và cắt d1, d2d_1,\,d_2 lần lượt tại hai điểm A, BA,\,B sao cho ABAB ngắn nhất. Phương trình của đường thẳng Δ\Delta là

A. {x=6−2ty=52+tz=−92+t\left\{ \begin{aligned} & x=6-2t \\& y=\dfrac{5}{2}+t \\& z=-\dfrac{9}{2}+t \end{aligned} \right..
B. {x=6−ty=52z=−92+t\left\{ \begin{aligned} & x=6-t \\& y=\dfrac{5}{2} \\& z=-\dfrac{9}{2}+t \end{aligned} \right..
C. {x=12−ty=5z=−9+t\left\{ \begin{aligned}& x=12-t \\& y=5 \\& z=-9+t \end{aligned} \right..
D. {x=6y=52−tz=−92+t\left\{ \begin{aligned}& x=6 \\& y=\dfrac{5}{2}-t \\& z=-\dfrac{9}{2}+t \end{aligned} \right..
Trả lời:

Đáp án đúng: B


Ta có:\
  • $d_1$ đi qua $M_1(1;0;-2)$ với vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1} = (2;1;-1)$
  • $d_2$ đi qua $M_2(1;-2;2)$ với vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2} = (1;3;-2)$
Gọi $\overrightarrow{u} = (a;b;c)$ là vectơ chỉ phương của $\Delta$. Do $\Delta$ song song với $(P): x+y+z-7=0$ nên $\overrightarrow{u}$ vuông góc với $\overrightarrow{n} = (1;1;1)$ là vectơ pháp tuyến của $(P)$
$\Rightarrow a+b+c = 0$ (*)
Do $\Delta$ cắt $d_1, d_2$ tại $A, B$ sao cho $AB$ ngắn nhất nên $\Delta$ là đường vuông góc chung của $d_1, d_2$
$\Rightarrow \overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{u_1}$ và $\overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{u_2}$
$\Rightarrow \begin{cases} 2a+b-c = 0 \\ a+3b-2c = 0 \end{cases}$ (**)
Giải (*) và (**), ta có: $\begin{cases} a = t \\ b = 0 \\ c = -t \end{cases}$
$\Rightarrow \overrightarrow{u} = (1;0;-1)$
$\overrightarrow{M_1M_2} = (0;-2;4)$
$\left[ \overrightarrow{u}, \overrightarrow{u_1} \right] = ( -1; 1; -1)$
$d(d_1, d_2) = \dfrac{\left| \overrightarrow{M_1M_2}. \left[ \overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2} \right] \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2} \right] \right|} = \dfrac{\left| 0.(-1) + (-2).1 + 4.(-1) \right|}{\sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \dfrac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$
Phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa $d_1$ và song song với $\Delta$ là:
$a(x-1) + b(y-0) + c(z+2) = 0 \\ \overrightarrow{n_P} = \left[ \overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u} \right] = (-1;1;1)$
$(-1)(x-1) + 1(y-0) + 1(z+2) = 0 \\ -x+1+y+z+2 = 0 \\ -x+y+z+3 = 0$
$ $\Delta$ nằm trong mặt phẳng $(Q)$ đi qua $M_2(1;-2;2)$ và nhận $\overrightarrow{u} = (1;0;-1)$ làm vectơ pháp tuyến là:
$1(x-1) + 0(y+2) -1(z-2) = 0 \\ x-z + 1 = 0$
$\Delta$ là giao tuyến của $(P)$ và $(Q)$
$\begin{cases} -x+y+z+3 = 0 \\ x-z+1 = 0 \end{cases}$
$\begin{cases} y = -4 \\ z = x+1 \end{cases}$
$\Rightarrow \begin{cases} x = t \\ y = -4 \\ z = t+1 \end{cases}$
Chọn $t=6$ ta có:
$\left\{ \begin{aligned} & x=6-t \\& y=\dfrac{5}{2} \\& z=-\dfrac{9}{2}+t \end{aligned} \right.$

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Bí quyết giải Chủ đề Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian - Dạng 8: Nhận biết và lập phương trình đường thẳng trong không gian

10/09/2025
0 lượt thi
0 / 20
Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 18:

Trong không gian OxyzOxyz, cho ba đường thẳng d:x−51=y+72=z−33d:\dfrac{x-5}{1}=\dfrac{y+7}{2}=\dfrac{z-3}{3}, d1:x2=y+11=z+3−2d_1:\dfrac{x}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z+3}{-2} và d2:x+21=y−3−3=z2d_2:\dfrac{x+2}{1}=\dfrac{y-3}{-3}=\dfrac{z}{2}. Gọi Δ\Delta là đường thẳng song song với dd đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1d_1 và d2d_2. Đường thẳng Δ\Delta đi qua điểm nào sau đây?

Lời giải:
Đáp án đúng: D
Gọi $\overrightarrow{u} = (1;2;3)$ là vector chỉ phương của đường thẳng $d$.

Vì $\Delta // d$ nên $\overrightarrow{u}$ cũng là vector chỉ phương của $\Delta$.

Gọi $A(2a; a-1; -2a-3) \in d_1$ và $B(b-2; -3b+3; 2b) \in d_2$.

Khi đó $\overrightarrow{AB} = (b-2a-2; -3b-a+4; 2b+2a+3)$.

Vì $\Delta$ đi qua $A$ và $B$ nên $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với $\overrightarrow{u}$.

Ta có $\overrightarrow{AB} = k.\overrightarrow{u}$ hay $(b-2a-2; -3b-a+4; 2b+2a+3) = k.(1;2;3)$.

$\Leftrightarrow \begin{cases} b-2a-2 = k \\ -3b-a+4 = 2k \\ 2b+2a+3 = 3k \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b-2a-2 = k \\ -3b-a+4 = 2(b-2a-2) \\ 2b+2a+3 = 3(b-2a-2) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b-2a-2 = k \\ 5b-5a = 12 \\ b-8a = 9 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b-2a-2 = k \\ b = \dfrac{12}{5} + a \\ b-8a = 9 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b-2a-2 = k \\ b = \dfrac{12}{5} + a \\ \dfrac{12}{5} + a - 8a = 9 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b-2a-2 = k \\ b = \dfrac{12}{5} + a \\ -7a = \dfrac{33}{5} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b-2a-2 = k \\ b = \dfrac{12}{5} + a \\ a = -\dfrac{33}{35} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b-2a-2 = k \\ b = -\dfrac{9}{35} \\ a = -\dfrac{33}{35} \end{cases}$

$\Rightarrow A(-\dfrac{66}{35}; -\dfrac{68}{35}; \dfrac{4}{35})$ và $B(-\dfrac{79}{35}; \dfrac{132}{35}; -\dfrac{18}{35})$.

$\overrightarrow{AB} = (-\dfrac{13}{35}; \dfrac{200}{35}; -\dfrac{22}{35}) = -\dfrac{1}{35}.(13; -200; 22)$

$\Rightarrow \overrightarrow{u} = (13; -200; 22)$.

$\Delta$ đi qua $A(-\dfrac{66}{35}; -\dfrac{68}{35}; \dfrac{4}{35})$ và có vector chỉ phương $\overrightarrow{u} = (13; -200; 22)$.

Phương trình $\Delta: \begin{cases} x = -\dfrac{66}{35} + 13t \\ y = -\dfrac{68}{35} - 200t \\ z = \dfrac{4}{35} + 22t \end{cases}$.

Xét điểm $A(4;10;17)$, ta có $\begin{cases} 4 = -\dfrac{66}{35} + 13t \\ 10 = -\dfrac{68}{35} - 200t \\ 17 = \dfrac{4}{35} + 22t \end{cases} \Leftrightarrow t = \dfrac{186}{455}$.

Vậy $A(4;10;17)$ thuộc $\Delta$.
Câu 19:

Trong không gian OxyzOxyz, cho hai đường thẳng (d1):x−12=y+21=z−2−2\left(d_1 \right):\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z-2}{-2}, (d2):{x=2−ty=3+tz=4+t\left(d_2 \right):\left\{ \begin{aligned}& x=2-t \\& y=3+t \\& z=4+t \end{aligned} \right. (tt là tham số) và mặt phẳng (P):x−y+z−6=0\left(P \right):x-y+z-6=0. Đường thẳng (d)\left(d \right) song song (P)\left(P \right), cắt (d1)\left(d_1 \right) và (d2)\left(d_2 \right) lần lượt tại AA và BB sao cho AB=36AB=3\sqrt{6}. Phương trình của (d)\left(d \right) là

Lời giải:
Đáp án đúng: D
Gọi $A(1+2a;-2+a;2-2a) \in d_1$ và $B(2-b;3+b;4+b) \in d_2$.
Khi đó $\overrightarrow{AB}=(1-2a-b;5+b-a;2+b+2a)$.
Đường thẳng $d$ đi qua $A, B$ song song với $(P)$ nên $\overrightarrow{AB}$ vuông góc với $\overrightarrow{n_P}=(1;-1;1)$.
Ta có:
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n_P}=0 \Leftrightarrow 1-2a-b-5-b+a+2+b+2a=0 \Leftrightarrow a-b-2=0 \Leftrightarrow a=b+2$ (1).
Mặt khác, $AB=3\sqrt{6}$ nên:
$(1-2a-b)^2+(5+b-a)^2+(2+b+2a)^2=54$ (2).
Thay (1) vào (2), ta được:
$(1-2(b+2)-b)^2+(5+b-b-2)^2+(2+b+2(b+2))^2=54 \Leftrightarrow (-3b-3)^2+3^2+(3b+6)^2=54 \Leftrightarrow 9(b+1)^2+9+9(b+2)^2=54 \Leftrightarrow (b+1)^2+1+(b+2)^2=6 \Leftrightarrow b^2+2b+1+1+b^2+4b+4=6 \Leftrightarrow 2b^2+6b=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}&b=0 \\&b=-3 \end{aligned} \right.$
*Với $b=0 \Rightarrow a=2 \Rightarrow A(5;0;-2) \Rightarrow B(2;3;4) \Rightarrow \overrightarrow{AB}=(-3;3;6)$ (loại).
*Với $b=-3 \Rightarrow a=-1 \Rightarrow A(-1;-3;4) \Rightarrow B(5;0;1) \Rightarrow \overrightarrow{AB}=(6;3;-3)$.
Khi đó đường thẳng $d$ đi qua $B(5;0;1)$ và có VTCP $\overrightarrow{u}=(2;1;-1)$.
Vậy phương trình đường thẳng $d$ là: $\dfrac{x-5}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{-1}$ hay $\dfrac{x-5}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{-1}$.
Câu 20:

Trong không gian OxyzOxyz, cho điểm A(−4;−3;3)A\left(-4;-3;3 \right) và mặt phẳng (P):x+y+z=0\left(P \right):x+y+z=0. Đường thẳng đi qua AA, cắt trục OzOz và song song với (P)\left(P \right) có phương trình là

Lời giải:
Đáp án đúng: D
Gọi $d$ là đường thẳng cần tìm.

Vì $d$ đi qua $A(-4; -3; 3)$ và cắt trục $Oz$ nên gọi $B(0; 0; b)$ là giao điểm của $d$ và $Oz$. Khi đó $\overrightarrow{AB} = (4; 3; b-3)$.

Vì $d$ song song với $(P): x + y + z = 0$ nên $\overrightarrow{AB}$ vuông góc với $\overrightarrow{n_P} = (1; 1; 1)$.

Suy ra $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n_P} = 0 \Leftrightarrow 4 + 3 + b - 3 = 0 \Leftrightarrow b = -4$.

Vậy $\overrightarrow{AB} = (4; 3; -7)$ là một vector chỉ phương của $d$.

Phương trình đường thẳng $d$ là: $\dfrac{x+4}{4} = \dfrac{y+3}{3} = \dfrac{z-3}{-7} \Leftrightarrow \dfrac{x+8}{4} = \dfrac{y+6}{3} = \dfrac{z-10}{-7}$.
Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho OA→=2i→+3j→−5k→; OB→=−2j→−4k→\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}-5\overrightarrow{k}; \,\overrightarrow{OB}=-2\overrightarrow{j}-4\overrightarrow{k}. Đường thẳng ABAB nhận vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương?

Lời giải:
Đáp án đúng: C
Ta có $\overrightarrow{OA} = (2; 3; -5)$ và $\overrightarrow{OB} = (0; -2; -4)$.

Suy ra $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (0-2; -2-3; -4-(-5)) = (-2; -5; 1)$.

Vậy, một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ là $\overrightarrow{u} = (-2; -5; 1)$ hoặc $\overrightarrow{u} = (2; 5; -1)$. Do đó, đáp án đúng là $\overrightarrow{u}=(2;\,5;\,-9)$ vì nó cùng phương với $\overrightarrow{AB}$.
Câu 2:

Trong không gian OxyzOxyz, vectơ u→=(1;−1;2)\overrightarrow{u}=\left(1;-1;2 \right) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng nào sau đây?

Lời giải:
Đáp án đúng: B
Vectơ chỉ phương của đường thẳng là vectơ có tỉ lệ với vectơ $\overrightarrow{u}=(1;-1;2 )$.
Đáp án B có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(1;-1;2 )$
Câu 3:

Trong không gian OxyzOxyz, cho dd vuông góc với 22 đường thẳng d1: {x=2−3ty=3+tz=−1+2td_1:\,\left\{ \begin{aligned}& x=2-3t \\& y=3+t \\& z=-1+2t \end{aligned} \right. và d2 : x+12=y5=z+33{d_2}\,:\,\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y}{5}=\dfrac{z+3}{3}. Vectơ chỉ phương của đường thẳng dd là

Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Câu 4:

Trong không gian OxyzOxyz, cho hai điểm A(1 ; −3 ; 1) ,  B(4 ; 6 ; −5)A\left(1\,;\,-3\,;\,1 \right)\,,\,\,B\left(4\,;\,6\,;\,-5 \right). Đường thẳng đi qua hai điểm A, BA,\,B có một vectơ chỉ phương là

Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Câu 5:

Trong không gian OxyzOxyz, đường thẳng d:x+11=y−23=z−2d:\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z}{-2} có một vectơ chỉ phương là

Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Câu 6:

Trong không gian OxyzOxyz, đường thẳng Δ:{x=1−2ty=−3z=2+3t\Delta:\left\{ \begin{aligned}& x=1-2t \\& y=-3 \\& z=2+3t \end{aligned} \right. có một vectơ chỉ phương là

Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho tam giác ABCABC có A(1;1;1)A\left(1;1;1 \right), B(−1;1;0)B\left(-1;1;0 \right), C(1;3;2)C\left(1;3;2 \right). Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh AA của ΔABC\Delta ABC nhận vectơ nào dưới đây làm vectơ chỉ phương?

Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT GD KT&PL Năm 2026

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Giáo Dục Kinh Tế Và Pháp Luật Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

111 tài liệu1137 lượt tải
50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Lịch Sử Học Năm 2026

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Lịch Sử Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

111 tài liệu953 lượt tải
50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Công Nghệ Năm 2026

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Công Nghệ Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

111 tài liệu1057 lượt tải
50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Hóa Học Năm 2026

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Hóa Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

111 tài liệu443 lượt tải
50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Sinh Học Năm 2026

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Sinh Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

111 tài liệu535 lượt tải
50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Vật Lí Năm 2026

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Vật Lí Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

181 tài liệu503 lượt tải