JavaScript is required

Câu hỏi:

Trong chương trình trại hè 2024 – 2025 một nhóm học sinh trường THPT X được giao làm 1 trại hè như hình vẽ. Để trang trí trại cần lắp 1 bóng đèn màu ở vị trí đỉnh trại \(O\). Đặt ổ điện nằm trên mặt đất, hỏi độ dài đoạn dây điện ngắn nhất từ ổ điện đến bóng đèn là bao nhiêu để tiết kiệm chi phí. Biết \(OA\), \(OB\), \(OC\) đôi một vuông góc với nhau.
v (ảnh 1)

A.

\(\frac{{9\sqrt {62} }}{{62}}\).

B.
\(\frac{{12\sqrt {63} }}{{63}}\).
C.
\(\frac{{12\sqrt {61} }}{{61}}\).
D.
\(\frac{{6\sqrt {61} }}{{61}}\).
Trả lời:

Đáp án đúng: D


Gọi độ dài $OA=a, OB=b, OC=c$. Ta có $a=3, b=4, c=6$. Độ dài dây điện ngắn nhất là đoạn $OD$ với $D$ là hình chiếu của $O$ lên mặt phẳng $(ABC)$. Ta có: $\frac{1}{OD^2} = \frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OB^2} + \frac{1}{OC^2} = \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{6^2} = \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{36} = \frac{16 + 9 + 4}{144} = \frac{29}{144}$ $\Rightarrow OD^2 = \frac{144}{29} \Rightarrow OD = \sqrt{\frac{144}{29}} = \frac{12}{\sqrt{29}} = \frac{12\sqrt{29}}{29}$ Bài này có vẻ như đáp án bị sai lệch. Để kiểm tra lại, ta nhận thấy các cạnh $OA, OB, OC$ tỉ lệ $3:4:6$. Vì thế kết quả phải có dạng $k \sqrt{3^2 + 4^2 + 6^2} = k \sqrt{9+16+36} = k\sqrt{61}$ với $k$ là một số hữu tỉ nào đó. Ta sẽ giải theo hướng khác. Gọi $A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c)$ với $a=3, b=4, c=6$. Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ hay $\frac{x}{3} + \frac{y}{4} + \frac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow 4x + 3y + 2z - 12 = 0$. Khoảng cách từ $O(0,0,0)$ đến $(ABC)$ là $d(O, (ABC)) = \frac{|4(0) + 3(0) + 2(0) - 12|}{\sqrt{4^2 + 3^2 + 2^2}} = \frac{12}{\sqrt{16+9+4}} = \frac{12}{\sqrt{29}} = \frac{12\sqrt{29}}{29}$. Vậy không có đáp án nào đúng.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Câu hỏi liên quan