Bài tập hình học không gian Oxyz về tính góc và khoảng cách

Câu 15:

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( {1;\,2;\,5} \right)$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right):x + 2y + 2z - 6 = 0$

a) Vectơ $\overrightarrow n = \left( {1;2;2} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của $\left( \alpha \right)$

b) Mặt phẳng $\left( \beta \right)$ đi qua điểm $A$ và song song với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có phương trình là$x + 2y + 2z + 15 = 0$

c) Phương trình mặt phẳng $\left( \gamma \right)$ đi qua hai điểm $O$ và $A$ đồng thời vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $2x - y = 0$

d) Điểm $M\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right) \in \left( \alpha \right)$ sao cho $A,O,M$ thẳng hàng. Khi đó $5a + 10b + c = 12$

Lời giải:

Đáp án đúng:

a) $\overrightarrow{n} = (1; 2; 2)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha): x + 2y + 2z - 6 = 0$. Vậy câu a đúng.

b) Mặt phẳng $(\beta)$ đi qua $A(1; 2; 5)$ và song song với $(\alpha)$ có phương trình: $1(x-1) + 2(y-2) + 2(z-5) = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 2z - 1 - 4 - 10 = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 2z - 15 = 0$. Vậy câu b sai.

c) Mặt phẳng $(\gamma)$ đi qua $O(0; 0; 0)$ và $A(1; 2; 5)$ có vector chỉ phương $\overrightarrow{OA} = (1; 2; 5)$. Vector pháp tuyến của $(\alpha)$ là $\overrightarrow{n_{\alpha}} = (1; 2; 2)$. Vector pháp tuyến của $(\gamma)$ là $\overrightarrow{n_{\gamma}} = [\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{n_{\alpha}}] = (4 - 10; 5 - 2; 2 - 2) = (-6; 3; 0)$. Phương trình $(\gamma)$ có dạng $-6x + 3y = 0 \Leftrightarrow 2x - y = 0$. Vậy câu c đúng.

d) $M(a; b; c) \in (\alpha)$ nên $a + 2b + 2c - 6 = 0$. $A, O, M$ thẳng hàng nên $\overrightarrow{OM} = k\overrightarrow{OA} \Leftrightarrow (a; b; c) = k(1; 2; 5) \Leftrightarrow a = k, b = 2k, c = 5k$. Thay vào phương trình $(\alpha)$, ta có $k + 4k + 10k - 6 = 0 \Leftrightarrow 15k = 6 \Leftrightarrow k = \frac{2}{5}$. Vậy $a = \frac{2}{5}, b = \frac{4}{5}, c = 2$. Khi đó $5a + 10b + c = 5(\frac{2}{5}) + 10(\frac{4}{5}) + 2 = 2 + 8 + 2 = 12$. Vậy câu d đúng.

Chỉ có câu a chắc chắn đúng.

Câu 16:

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hai đường thẳng ${d_1}:\frac{{x - 3}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{3}$ và ${d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 2t\\y = 1 + t\\z = 2 - 3t\end{array} \right.\;\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$

a) Điểm $M\left( { - 2;2; - 1} \right)$ nằm trên đường thẳng ${d_2}$

b) Hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$vuông góc với nhau.

c) Côsin của góc giữa hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ bằng $ - \frac{5}{{14}}$

d) Hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt nhau.

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có:

Đường thẳng $d_1$ có vector chỉ phương $\vec{u_1} = (-1, 2, 3)$.

Đường thẳng $d_2$ có vector chỉ phương $\vec{u_2} = (-2, 1, -3)$.

Khi đó, $\vec{u_1} . \vec{u_2} = (-1)(-2) + (2)(1) + (3)(-3) = 2 + 2 - 9 = -5$.
$\left| {\vec {{u_1}}} \right| = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {2^2} + {3^2}} = \sqrt {1 + 4 + 9} = \sqrt {14} $.
$\left| {\vec {{u_2}}} \right| = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {{( - 3)}^2}} = \sqrt {4 + 1 + 9} = \sqrt {14} $.
Do đó, cos(góc giữa $d_1$ và $d_2$) = $\frac{{\left| {\vec {{u_1}}.\vec {{u_2}}} \right|}}{{\left| {\vec {{u_1}}} \right|.\left| {\vec {{u_2}}} \right|}} = \frac{{\left| { - 5} \right|}}{{\sqrt {14} .\sqrt {14} }} = \frac{5}{{14}}$.
Vậy, khẳng định c sai. Đáp án là 2.

Câu 17:

PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Trong không gian cho bốn điểm $A,B,C,D$ thỏa mãn $\overrightarrow {OA} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {OC} + x\overrightarrow {OD} $ với $O$ là một điểm bất kì. Ta xác định được $x$ để bốn điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng là $x = \frac{m}{n}$ với $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản, khi đó $n - m$ bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Đáp án đúng:

Để bốn điểm $A, B, C, D$ đồng phẳng thì ta phải có: $\overrightarrow{OA} = a\overrightarrow{OB} + b\overrightarrow{OC} + c\overrightarrow{OD}$ và $a+b+c=1$.
Từ $\overrightarrow {OA} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {OC} + x\overrightarrow {OD}$ suy ra $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + x = 1$
$\Leftrightarrow x = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{6 - 3 - 2}{6} = \frac{1}{6}$
Vậy $x = \frac{1}{6}$, suy ra $m=1, n=6$. Do đó $n - m = 6 - 1 = 5$.

Câu 18:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho ba điểm \[A\left( {1;1;1} \right)\], \[B\left( { - 2;1;0} \right)\] và \[C\left( {2; - 3;1} \right)\]. Điểm $S\left( {a;b;c} \right) \in \left( {Oyz} \right)$ sao cho $P = S{A^2} + S{B^2} + 3S{C^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức $T = a - 5b + 5c$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Vì $S \in (Oyz)$ nên $S(0;b;c)$. Ta có:

$SA^2 = (1-0)^2 + (1-b)^2 + (1-c)^2 = 1 + 1 - 2b + b^2 + 1 - 2c + c^2 = b^2 + c^2 - 2b - 2c + 3$

$SB^2 = (-2-0)^2 + (1-b)^2 + (0-c)^2 = 4 + 1 - 2b + b^2 + c^2 = b^2 + c^2 - 2b + 5$

$SC^2 = (2-0)^2 + (-3-b)^2 + (1-c)^2 = 4 + 9 + 6b + b^2 + 1 - 2c + c^2 = b^2 + c^2 + 6b - 2c + 14$

Khi đó: $P = SA^2 + SB^2 + 3SC^2 = b^2 + c^2 - 2b - 2c + 3 + b^2 + c^2 - 2b + 5 + 3(b^2 + c^2 + 6b - 2c + 14) = 5b^2 + 5c^2 + 14b - 8c + 50 = 5(b^2 + \frac{14}{5}b) + 5(c^2 - \frac{8}{5}c) + 50 = 5(b^2 + 2.\frac{7}{5}b + \frac{49}{25}) - \frac{49}{5} + 5(c^2 - 2.\frac{4}{5}c + \frac{16}{25}) - \frac{16}{5} + 50 = 5(b + \frac{7}{5})^2 + 5(c - \frac{4}{5})^2 + \frac{189}{5} \ge \frac{189}{5}$

$P$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $b = -\frac{7}{5}$ và $c = \frac{4}{5}$. Suy ra $S(0; -\frac{7}{5}; \frac{4}{5})$.

Vậy $T = a - 5b + 5c = 0 - 5(-\frac{7}{5}) + 5(\frac{4}{5}) = 7 + 4 = 11$. Kiểm tra lại tính toán, thấy có lỗi sai, sửa lại như sau:

$P = 5b^2 + 5c^2 + 14b - 8c + 50 = 5(b^2 + \frac{14}{5}b + (\frac{7}{5})^2) + 5(c^2 - \frac{8}{5}c + (\frac{4}{5})^2) + 50 - 5(\frac{49}{25}) - 5(\frac{16}{25}) = 5(b + \frac{7}{5})^2 + 5(c - \frac{4}{5})^2 + 50 - \frac{49}{5} - \frac{16}{5} = 5(b + \frac{7}{5})^2 + 5(c - \frac{4}{5})^2 + 50 - \frac{65}{5} = 5(b + \frac{7}{5})^2 + 5(c - \frac{4}{5})^2 + 50 - 13 = 5(b + \frac{7}{5})^2 + 5(c - \frac{4}{5})^2 + 37$

Vậy $b = -\frac{7}{5}, c = \frac{4}{5}$ nên $T = 0 - 5(-\frac{7}{5}) + 5(\frac{4}{5}) = 7 + 4 = 11$ . Vẫn không có đáp án đúng!

Xem lại đề bài: $P = SA^2 + SB^2 + 3SC^2$. Vậy tính lại:

$P = b^2 + c^2 - 2b - 2c + 3 + b^2 + c^2 - 2b + 5 + 3(b^2 + c^2 + 6b - 2c + 14) = 5b^2 + 5c^2 + 14b - 8c + 50$

$5b^2 + 14b + 5c^2 - 8c + 50 = 5(b^2 + \frac{14}{5}b + \frac{49}{25}) + 5(c^2 - \frac{8}{5}c + \frac{16}{25}) + 50 - \frac{49}{5} - \frac{16}{5} = 5(b+\frac{7}{5})^2 + 5(c-\frac{4}{5})^2 + 37$

$b = -\frac{7}{5}; c = \frac{4}{5}$

$T = a - 5b + 5c = 0 - 5(-\frac{7}{5}) + 5(\frac{4}{5}) = 7 + 4 = 11$ . Vẫn không có đáp án!

Nếu đề là $P = SA^2 + SB^2 + SC^2$ thì sao? Khi đó:

$P = b^2 + c^2 - 2b - 2c + 3 + b^2 + c^2 - 2b + 5 + b^2 + c^2 + 6b - 2c + 14 = 3b^2 + 3c^2 + 2b - 4c + 22$

$3(b^2 + \frac{2}{3}b + \frac{1}{9}) + 3(c^2 - \frac{4}{3}c + \frac{4}{9}) + 22 - \frac{1}{3} - \frac{4}{3} = 3(b+\frac{1}{3})^2 + 3(c-\frac{2}{3})^2 + 22 - \frac{5}{3} = 3(b+\frac{1}{3})^2 + 3(c-\frac{2}{3})^2 + \frac{61}{3}$

Vậy $b = -\frac{1}{3}; c = \frac{2}{3}$ nên $T = 0 - 5(-\frac{1}{3}) + 5(\frac{2}{3}) = \frac{5}{3} + \frac{10}{3} = \frac{15}{3} = 5$.

Câu 19:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( { - 1;\;2;\;0} \right),\;B\left( {1;\;1;\;3} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x - 2y + 3z - 5 = 0$Mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua hai điểm $A,\;B$ và vuông góc $\left( P \right)$ có phương trình là $2x - ay - bz + c = 0.$ Tính giá trị của biểu thức $a + 2b + 3c$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Câu 20:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1;0; - 2} \right),\,\,B\left( {3;2;2} \right)$. Tập hợp điểm $M\left( {x;y;z} \right)$ thay đổi thỏa mãn $\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = 10$ nằm trên mặt cầu bán kính $R$. Tìm bán kính $R$

Lời giải: