Câu hỏi:

Gọi tọa độ các điểm như sau: $O(0;0;0), D(9;0;0), B(0;9;0), O'(0;0;9)$.
Vì $O'B' = 3O'M$ nên $\vec{O'M} = \frac{1}{3}\vec{O'B'}$. Suy ra $M(\frac{1}{3}x_{B'}; \frac{1}{3}y_{B'}; z_{O'})= (0; 6; 9)$.
Để quãng đường đi được là ngắn nhất, con kiến phải bò trên đường thẳng.
Ta trải hình lập phương và vẽ đường thẳng đi từ $M$ đến $M'$ (ảnh của $M$ qua phép trải).
Số điểm mà con kiến bò qua có tọa độ nguyên dương là số điểm mà đường thẳng $MM'$ cắt các cạnh của các hình vuông đơn vị.
Ta có $M(0;6;9)$ và $M'(18; -6; -9)$.
Phương trình đường thẳng $MM'$ là:
$\begin{cases}x = 0 + 18t \\ y = 6 - 12t \\ z = 9 - 18t \end{cases}$
Ta cần tìm số giá trị của $t$ sao cho $x, y, z$ là các số nguyên dương.
$\begin{cases}0 < 18t < 9 \\ 0 < 6 - 12t < 9 \\ 0 < 9 - 18t < 9 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}0 < t < \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{4} < t < \frac{1}{2} \\ 0 < t < \frac{1}{2} \end{cases} \Rightarrow 0 < t < \frac{1}{2}$
Xét $x = 18t$ nguyên dương $\Rightarrow t = \frac{k}{18}$ với $k \in \mathbb{Z}^+$.
Do $0 < t < \frac{1}{2}$ nên $0 < \frac{k}{18} < \frac{1}{2} \Rightarrow 0 < k < 9$. Vậy có 8 giá trị của $x$ thỏa mãn.
Xét $y = 6 - 12t$ nguyên dương $\Rightarrow t = \frac{6-l}{12}$ với $l \in \mathbb{Z}^+$.
Do $0 < t < \frac{1}{2}$ nên $0 < \frac{6-l}{12} < \frac{1}{2} \Rightarrow 0 < 6-l < 6 \Rightarrow 0 < l < 6$. Vậy có 5 giá trị của $y$ thỏa mãn.
Xét $z = 9 - 18t$ nguyên dương $\Rightarrow t = \frac{9-m}{18}$ với $m \in \mathbb{Z}^+$.
Do $0 < t < \frac{1}{2}$ nên $0 < \frac{9-m}{18} < \frac{1}{2} \Rightarrow 0 < 9-m < 9 \Rightarrow 0 < m < 9$. Vậy có 8 giá trị của $z$ thỏa mãn.
Số điểm cần tìm là $8 + 5 + 8 - 5 - 3 - 2 + 0 = 11$.