Câu hỏi:

Tổng các nghiệm của phương trình ${5^{2\sin x}} = \frac{1}{{25}}$ trên đoạn $\left[ {0\,;\,100\pi } \right]$ là $a\pi .\,$Tính $a + 2025.$

Trả lời:

Đáp án đúng:

Ta có phương trình ${5^{2\sin x}} = \frac{1}{{25}} = {5^{ - 2}}$
$\Leftrightarrow 2\sin x = - 2$
$\Leftrightarrow \sin x = - 1$
$\Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in Z$
Xét $x \in \left[ {0;100\pi } \right]$, ta có:
$0 \le - \frac{\pi }{2} + k2\pi \le 100\pi $
$\Leftrightarrow 0 \le - \frac{1}{2} + 2k \le 100$
$\Leftrightarrow \frac{1}{4} \le k \le \frac{{201}}{4}$
$\Leftrightarrow 0,25 \le k \le 50,25$
$\Rightarrow k \in \left\{ {1,2,...,50} \right\}$
Khi đó tổng các nghiệm là:
$S = \sum\limits_{k = 1}^{50} {\left( { - \frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)} = - 50\frac{\pi }{2} + 2\pi \sum\limits_{k = 1}^{50} k $
$= - 25\pi + 2\pi \frac{{50.51}}{2} = - 25\pi + 2550\pi = 2525\pi $
$\Rightarrow a = 2525$
Vậy $a + 2025 = 2525 + 2025 = 4550$.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Luyện đề thi Chủ đề Phương trình và bất phương trình Mũ và Lôgarit - Đề 1

10/09/2025

0 lượt thi

0 / 22

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 20:

Gọi \[S\] là tập nghiệm của phương trình ${2^{{x^2} - 6x - \frac{5}{2}}} = 16\sqrt 2 $. Tính tổng bình phương tất cả các phần tử của tập \[S\]

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có: ${2^{{x^2} - 6x - \frac{5}{2}}} = 16\sqrt 2 = {2^4}.{2^{\frac{1}{2}}} = {2^{\frac{9}{2}}}$
Suy ra: ${x^2} - 6x - \frac{5}{2} = \frac{9}{2} \Leftrightarrow {x^2} - 6x - 7 = 0$
$\Leftrightarrow (x+1)(x-7)=0$
$\Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = 7$
Vậy $S = \{-1; 7\}$. Tổng bình phương các phần tử của $S$ là $(-1)^2 + 7^2 = 1 + 49 = 50$.

Câu 21:

Tính tích tất cả các nghiệm của phương trình $4 \cdot \,3{\,^{\log \left( {100{x^2}} \right)}} + 9 \cdot {4^{\log \left( {10x} \right)}} = 13 \cdot \,{6^{1 + \log x}}$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Câu 22:

Một công ty sản xuất điện thoại di động phát hiện số lượng sản phẩm bán ra có thể được mô tả bằng công thức $N\left( t \right) = A \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {kt + 1} \right)$ (với $t \ge 0$, $k$ là hằng số dương), trong đó $N\left( t \right)$ là số lượng điện thoại bán được (chiếc) sau $t$ tháng kể từ khi phát hành sản phẩm. Biết sau tháng thứ nhất công ty bán được $1\,000$ chiếc, sau tháng thứ 5 công ty bán được $2\,000$ chiếc. Hỏi sau bao nhiêu tháng công ty bán được \[3\,000\] chiếc điện thoại di động

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có:

$N(t) = A \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}(kt + 1)$

Sau tháng thứ nhất, $N(1) = 1000$, nên $1000 = A \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}(k + 1)$

Sau tháng thứ năm, $N(5) = 2000$, nên $2000 = A \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}(5k + 1)$

Chia hai vế của hai phương trình, ta được:
$\frac{2000}{1000} = \frac{{A{{\log }_2}(5k + 1)}}{{A{{\log }_2}(k + 1)}}$

$2 = \frac{{{{\log }_2}(5k + 1)}}{{{{\log }_2}(k + 1)}}$

$2{\log _2}(k + 1) = {\log _2}(5k + 1)$

${\log _2}{(k + 1)^2} = {\log _2}(5k + 1)$

${(k + 1)^2} = 5k + 1$

${k^2} + 2k + 1 = 5k + 1$

${k^2} - 3k = 0$

$k(k - 3) = 0$

Vì $k > 0$, nên $k = 3$.

Thay $k = 3$ vào $1000 = A{\log _2}(k + 1)$, ta được:
$1000 = A{\log _2}(3 + 1)$

$1000 = A{\log _2}4$

$1000 = A \cdot 2$

$A = 500$.

Vậy $N(t) = 500{\log _2}(3t + 1)$.

Khi $N(t) = 3000$, ta có:
$3000 = 500{\log _2}(3t + 1)$

$6 = {\log _2}(3t + 1)$

${2^6} = 3t + 1$

$64 = 3t + 1$

$3t = 63$

$t = 21$

Vậy sau 21 tháng công ty bán được 3000 chiếc điện thoại.

Câu 1:

PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Tổng các nghiệm của phương trình \[\sin x = \sin \frac{\pi }{6}\] trên \[\left[ {0;\pi } \right]\] bằng

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có phương trình $\sin x = \sin \frac{\pi }{6}$. Nghiệm của phương trình lượng giác này là: x = \frac{\pi }{6} + k2\pi hoặc x = \pi - \frac{\pi }{6} + k2\pi = \frac{5\pi }{6} + k2\pi. Xét trên đoạn [0;\pi ]: Với x = \frac{\pi }{6} + k2\pi, ta có k=0 thì x = \frac{\pi }{6} thuộc [0;\pi ]. Với x = \frac{5\pi }{6} + k2\pi, ta có k=0 thì x = \frac{5\pi }{6} thuộc [0;\pi ]. Vậy tổng các nghiệm trên đoạn [0;\pi ] là: \frac{\pi }{6} + \frac{5\pi }{6} = \frac{6\pi }{6} = \pi.

Câu 2:

Có mấy giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình \[\sin \left( {2024x - \frac{\pi }{{2055}}} \right) - m = 2026\] có nghiệm?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để phương trình $\sin \left( {2024x - \frac{\pi }{{2055}}} \right) - m = 2026$ có nghiệm, ta cần:\
$\sin \left( {2024x - \frac{\pi }{{2055}}} \right) = m + 2026$\
Vì $-1 \le \sin \left( {2024x - \frac{\pi }{{2055}}} \right) \le 1$, nên ta có:\
$-1 \le m + 2026 \le 1$\
$-2027 \le m \le -2025$\
Vậy, $m$ có thể nhận các giá trị nguyên là $-2027, -2026, -2025$. Có tất cả 3 giá trị nguyên của $m$.

Câu 3:

Trong khoảng $\left( {0\,;\,2\pi } \right)$, phương trình $\sin \left( {2x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)$ có bao nhiêu nghiệm?

Lời giải: