Câu hỏi:

PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho phương trình $\tan x = \sqrt 3 .$

a) Điều kiện xác định của phương trình $x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

b) $x = \frac{\pi }{3}$ là một nghiệm của phương trình.

c) Tập nghiệm của phương trình là $\left\{ {\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ;\frac{{ - 2\pi }}{3} + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}.$

d) Phương trình có hai nghiệm trên đoạn $\left[ {0;2\pi } \right].$

Trả lời:

Đáp án đúng:

a) Điều kiện xác định của $\tan x$ là $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. Vậy, câu a) SAI.
b) $\tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$. Vậy, câu b) ĐÚNG.
c) $\tan x = \sqrt{3} \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{3} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. Vậy, câu c) SAI.
d) Trên đoạn $[0; 2\pi]$, phương trình $\tan x = \sqrt{3}$ có nghiệm $x = \frac{\pi}{3}$ và $x = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$. Vậy, câu d) ĐÚNG.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Luyện đề thi Chủ đề Phương trình và bất phương trình Mũ và Lôgarit - Đề 1

10/09/2025

0 lượt thi

0 / 22

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 14:

Cho phương trình lượng giác $2\sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) + \sqrt 3 = 0$.

a) Phương trình có nghiệm \[x = - \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3},\,\,k \in \mathbb{Z}\].

b) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng $ - \frac{{2\pi }}{9}$.

c) Trên khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$, phương trình đã cho có 3 nghiệm.

d) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$ bằng $\frac{{7\pi }}{9}$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có: $2\sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) + \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Suy ra: $3x + \frac{\pi }{3} = -\frac{\pi }{3} + k2\pi$ hoặc $3x + \frac{\pi }{3} = \pi + \frac{\pi }{3} + k2\pi$ (với $k \in \mathbb{Z}$).
*Trường hợp 1: $3x + \frac{\pi }{3} = -\frac{\pi }{3} + k2\pi \Leftrightarrow 3x = -\frac{2\pi }{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = -\frac{2\pi }{9} + k\frac{2\pi }{3}$ (với $k \in \mathbb{Z}$).
*Trường hợp 2: $3x + \frac{\pi }{3} = \frac{2\pi }{3} + k2\pi \Leftrightarrow 3x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{9} + k\frac{2\pi }{3}$ (với $k \in \mathbb{Z}$).
Vậy nghiệm của phương trình là $x = -\frac{2\pi }{9} + k\frac{2\pi }{3}$ hoặc $x = \frac{\pi }{9} + k\frac{2\pi }{3}$ (với $k \in \mathbb{Z}$).
Kiểm tra đáp án a: $x = -\frac{\pi}{9} + k\frac{2\pi}{3}$ không đúng nghiệm.
Kiểm tra đáp án b: Với $x = -\frac{2\pi }{9} + k\frac{2\pi }{3}$. Để $x$ âm lớn nhất, chọn $k=0$ thì $x = -\frac{2\pi}{9}$. Với $x = \frac{\pi }{9} + k\frac{2\pi }{3}$. Để $x$ âm lớn nhất, chọn $k=-1$ thì $x = \frac{\pi}{9} - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi - 6\pi}{9} = -\frac{5\pi}{9}$. Vậy nghiệm âm lớn nhất là -$\frac{2\pi}{9}$.
Kiểm tra đáp án c: $0 < -\frac{2\pi }{9} + k\frac{2\pi }{3} < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow 0 < -\frac{2}{9} + k\frac{2}{3} < \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{2}{9} < k\frac{2}{3} < \frac{1}{2} + \frac{2}{9} \Leftrightarrow \frac{1}{3} < k < \frac{13}{12} \Leftrightarrow k = 1$. Suy ra $x = -\frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{9}$.
$0 < \frac{\pi }{9} + k\frac{2\pi }{3} < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow 0 < \frac{1}{9} + k\frac{2}{3} < \frac{1}{2} \Leftrightarrow -\frac{1}{9} < k\frac{2}{3} < \frac{1}{2} - \frac{1}{9} \Leftrightarrow -\frac{1}{6} < k < \frac{7}{6} \Leftrightarrow k = 0, k=1$. Suy ra $x = \frac{\pi}{9}$ và $x= \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} = \frac{7\pi}{9}$.
Vậy có 3 nghiệm là $\frac{\pi}{9}$, $\frac{4\pi}{9}$ và $\frac{7\pi}{9}$.
Kiểm tra đáp án d: Tổng các nghiệm là $\frac{\pi}{9} + \frac{4\pi}{9} + \frac{7\pi}{9} = \frac{12\pi}{9} = \frac{4\pi}{3} \ne \frac{7\pi}{9}$.
Đáp án a sai. Nghiệm đúng phải là $x = \frac{\pi }{9} + k\frac{2\pi }{3}$ hoặc $x = -\frac{2\pi }{9} + k\frac{2\pi }{3}$

Câu 15:

Cho phương trình ${3^{{x^2} - 4x + 5}} = 9$.

a) Điều kiện xác định của phương trình là \[x \in \mathbb{R}\].

b) Phương trình ban đầu tương đương với phương trình ${3^{{x^2} - 4x + 5}} = {3^{ - 2}}$.

c) Tập nghiệm của phương trình ban đầu là \[T = \left\{ {1\,;\,3} \right\}\].

d) Số các tập con khác tập rỗng của tập nghiệm của phương trình đã cho là 4

Lời giải:

Đáp án đúng:

a) Điều kiện xác định của phương trình mũ là $x \in \mathbb{R}$ vì $x$ có thể nhận bất kỳ giá trị nào.
b) Ta có: $9=3^2$ nên ${3^{{x^2} - 4x + 5}} = 9 \Leftrightarrow {3^{{x^2} - 4x + 5}} = {3^{2}}$. Vậy, đáp án b sai.
c) ${3^{{x^2} - 4x + 5}} = 9 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 5 = 2 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow (x-1)(x-3)=0 \Leftrightarrow x=1 \vee x=3$. Vậy tập nghiệm là $T = \left\{ {1\,;\,3} \right\}$.
d) Tập $T = \left\{ {1\,;\,3} \right\}$ có $2^2 - 1 = 3$ tập con khác rỗng: $\{1\}, \{3\}, \{1,3\}$. Vậy đáp án d sai.

Câu 16:

Cho bất phương trình ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - m} \right) + {\log _2}\left( {4 - x} \right) \le 0$, với $m$ là tham số.

a) Với $m = 2$, điều kiện xác định của bất phương trình là $1 \le x \le 4$.

b) Với $m = 2$ thì $x = 2$ là nghiệm của bất phương trình trên.

c) Với $m = 5$, tập nghiệm của bất phương trình là $\left[ {3\,;\,4} \right)$.

d) Có $8$ giá trị nguyên dương của tham số $m$ để bất phương trình trên có nghiệm

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta xét câu c) với $m=5$:
Bất phương trình trở thành: ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 5} \right) + {\log _2}\left( {4 - x} \right) \le 0$

$\Leftrightarrow -{\log _2}\left( {2x - 5} \right) + {\log _2}\left( {4 - x} \right) \le 0$

$\Leftrightarrow {\log _2}\left( {4 - x} \right) \le {\log _2}\left( {2x - 5} \right)$

$\Leftrightarrow 4 - x \le 2x - 5$ (vì cơ số 2 > 1)

$\Leftrightarrow 3x \ge 9$

$\Leftrightarrow x \ge 3$

Điều kiện xác định: $2x - 5 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{5}{2}$ và $4 - x > 0 \Leftrightarrow x < 4$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $[3; 4)$.

Câu 17:

PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Tìm số nghiệm của phương trình $\sin \left( {{\rm{cos}}\,x} \right) = 0$ trên đoạn $\left[ {1\,;\,2021} \right]$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có $\sin(\cos x) = 0$ khi và chỉ khi $\cos x = k\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$.

Vì $-1 \le \cos x \le 1$ nên $-1 \le k\pi \le 1$, suy ra $-\frac{1}{\pi} \le k \le \frac{1}{\pi}$. Do đó, $k = 0$.

Vậy, ta cần giải phương trình $\cos x = 0$ trên đoạn $[1, 2021]$.

Phương trình $\cos x = 0$ có nghiệm $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ta cần tìm số giá trị nguyên $n$ sao cho $1 \le \frac{\pi}{2} + n\pi \le 2021$.

$\Leftrightarrow 1 \le \pi(\frac{1}{2} + n) \le 2021$

$\Leftrightarrow \frac{1}{\pi} \le \frac{1}{2} + n \le \frac{2021}{\pi}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{\pi} - \frac{1}{2} \le n \le \frac{2021}{\pi} - \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{1 - \frac{\pi}{2}}{\pi} \le n \le \frac{2021}{\pi} - \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{1 - 1.57}{\pi} \le n \le \frac{2021}{3.14} - 0.5$

$\Leftrightarrow \frac{-0.57}{3.14} \le n \le 643.6 - 0.5$

$\Leftrightarrow -0.18 \le n \le 643.1$

Vì $n \in \mathbb{Z}$, nên $0 \le n \le 643$.

Vậy có $643 - 0 + 1 = 644$ nghiệm.

Câu 18:

Biết rằng phương trình \[\tan x + \sqrt 3 = 0\] có nghiệm $x = - \frac{{a\pi }}{b} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right);\,\,a,b \in {\mathbb{N}^*};\,\,\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $2a + 3b$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có $\tan x + \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow \tan x = -\sqrt{3}$.

Nghiệm của phương trình là $x = -\frac{\pi}{3} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

Suy ra $a = 1$ và $b = 3$. Vậy $2a + 3b = 2(1) + 3(3) = 2 + 9 = 11$.

Câu 19:

Tổng các nghiệm của phương trình ${5^{2\sin x}} = \frac{1}{{25}}$ trên đoạn $\left[ {0\,;\,100\pi } \right]$ là $a\pi .\,$Tính $a + 2025.$

Lời giải: