Một nghiên cứu tại một trường đại học cho biết tỉ lệ sinh viên dùng cà phê để duy trì tỉnh táo khi học vào ban đêm là 70%. Giả sử chọn ngẫu nhiên 3 sinh viên từ nhóm khảo sát trên để phỏng vấn.

Để tìm khoảng tứ phân vị, trước hết ta cần tìm tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ và tứ phân vị thứ ba $Q_3$.
Cỡ mẫu $n = 3 + 7 + 8 + 2 = 20$.
* Tìm $Q_1$: * $Q_1$ là trung vị của nửa dưới mẫu, vậy $Q_1$ là giá trị thứ $\frac{n}{4} = \frac{20}{4} = 5$. * Nhóm chứa $Q_1$ là nhóm $\left[45; 50\right)$. * $Q_1 = l + \frac{\frac{n}{4} - cf}{f} \times w = 45 + \frac{5 - 3}{7} \times 5 = 45 + \frac{10}{7} \approx 46.4$. * Tìm $Q_3$: * $Q_3$ là giá trị thứ $\frac{3n}{4} = \frac{3 \times 20}{4} = 15$. * Nhóm chứa $Q_3$ là nhóm $\left[50; 55\right)$. * $Q_3 = l + \frac{\frac{3n}{4} - cf}{f} \times w = 50 + \frac{15 - (3+7)}{8} \times 5 = 50 + \frac{25}{8} = 53.125 \approx 53.1$.
Khoảng tứ phân vị $IQR = Q_3 - Q_1 = 53.1 - 46.4 = 6.7$.
Tuy nhiên, câu hỏi yêu cầu tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, nên ta phải tính theo công thức khác:
* Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$: $Q_1$ là giá trị thứ $5$. $Q_1$ thuộc nhóm $[45;50)$. * $Q_1 = 45 + (5-3) * (50-45) / 7 = 45 + 2 * 5 / 7 = 45 + 10/7 \approx 46.4$. * Tứ phân vị thứ ba $Q_3$: $Q_3$ là giá trị thứ $15$. $Q_3$ thuộc nhóm $[50;55)$. * $Q_3 = 50 + (15 - 3 - 7) * (55-50) / 8 = 50 + 5*5 / 8 = 50 + 25/8 = 53.1$. * $Q_3-Q_1 = 53.1 - 46.4 = 6.7$.
Vậy không có đáp án nào đúng.

Ta có bất phương trình ${3^{x - 2}} > 9$.
Đổi về cùng cơ số: ${3^{x - 2}} > {3^2}$.
Vì cơ số $3 > 1$ nên bất phương trình tương đương với $x - 2 > 2$.
Giải bất phương trình, ta được $x > 4$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(4; + \infty)$.

Để kiểm tra một điểm có thuộc đường thẳng $d$ hay không, ta thay tọa độ của điểm đó vào phương trình tham số của đường thẳng $d$ và xem có tìm được giá trị $t$ thỏa mãn cả ba phương trình hay không.

• Xét điểm $P(-1, -3, 1)$: $1-2t=-1 \Rightarrow t=1$, $3+t=-3 \Rightarrow t=-6$, $-1+4t=1 \Rightarrow t=0.5$. Không có giá trị $t$ thỏa mãn.
• Xét điểm $M(1, 3, -1)$: $1-2t=1 \Rightarrow t=0$, $3+t=3 \Rightarrow t=0$, $-1+4t=-1 \Rightarrow t=0$. Vậy $M$ thuộc $d$ khi $t=0$.
• Xét điểm $N(-2, 2, 4)$: $1-2t=-2 \Rightarrow t=1.5$, $3+t=2 \Rightarrow t=-1$, $-1+4t=4 \Rightarrow t=1.25$. Không có giá trị $t$ thỏa mãn.
• Xét điểm $Q(-1, 1, 2)$: $1-2t=-1 \Rightarrow t=1$, $3+t=1 \Rightarrow t=-2$, $-1+4t=2 \Rightarrow t=0.75$. Không có giá trị $t$ thỏa mãn.

Vậy điểm $M(1; 3; -1)$ thuộc đường thẳng $d$.

Ta có công thức tính tích phân bằng nguyên hàm như sau: $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$.
Trong trường hợp này, ta có:
$\int_1^3 f(x) dx = F(3) - F(1) = 5 - 1 = 4$.