Câu hỏi:

Gọi $I$ là tâm của hình chữ nhật, $r$ là bán kính đường tròn $(C)$.
Parabol $(P_1)$ có phương trình $y = a{x^2} + b$ với đỉnh là $I(0;0)$ và đi qua điểm $(7;6)$ nên $6 = a{.7^2} \Rightarrow a = \dfrac{6}{{49}}$.
Vậy $(P_1):y = \dfrac{6}{{49}}{x^2}$.
Đường tròn $(C):{x^2} + {y^2} = {r^2}$.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(P_1)$ và $(C)$:
$\dfrac{{36}}{{{{49}^2}}}{x^4} + {x^2} = {r^2} \Leftrightarrow \dfrac{{36}}{{{{49}^2}}}{x^4} + {x^2} - {r^2} = 0$.
Để $(C)$ tiếp xúc với $(P_1)$ thì phương trình trên có nghiệm duy nhất $x^2$. Điều này xảy ra khi phương trình có nghiệm kép.
Đặt $t = {x^2} \ge 0$, ta có $\dfrac{{36}}{{{{49}^2}}}{t^2} + t - {r^2} = 0$ (*).
$\Delta = 1 + 4.\dfrac{{36}}{{{{49}^2}}}{r^2} = 0 \Leftrightarrow {r^2} = - \dfrac{{{{49}^2}}}{{4.36}}$ (vô lý).
Vậy phương trình (*) có nghiệm kép khi $t = 0 \Leftrightarrow r = 0$ (không thỏa mãn).
Để phương trình (*) có nghiệm duy nhất thì $\Delta > 0$ và $t_1 < 0 < t_2$.
Khi đó ${r^2} = - \dfrac{{{{49}^2}}}{{4.36}}t_1 > 0 \Rightarrow t_1 = - \dfrac{{{{49}^2}}}{{4.36}}{r^2}$.
$t_1 + t_2 = - \dfrac{{{{49}^2}}}{{36}}$ và ${t_1}{t_2} = - \dfrac{{{{49}^2}}}{{36}}{r^2} \Rightarrow {t_2} = - \dfrac{{36}}{{{{49}^2}}}{r^2} - \dfrac{{{{49}^2}}}{{36}}$.
$t_2 > 0 \Rightarrow - \dfrac{{36}}{{{{49}^2}}}{r^2} - \dfrac{{{{49}^2}}}{{36}} > 0 \Leftrightarrow {r^2} < \dfrac{{{{49}^4}}}{{{{36}^2}}} \Rightarrow r < \dfrac{{{{49}^2}}}{{36}}$.
Diện tích hình tròn lớn nhất khi $r = \dfrac{{{{49}^2}}}{{36}}$.
Diện tích hình chữ nhật là $14.12 = 168\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.
Diện tích hình giới hạn bởi hai parabol là $2.\dfrac{2}{3}.7.6 = 56\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.
Diện tích hình tròn là $S = \pi {r^2} = \pi .{\left( {\dfrac{{{{49}^2}}}{{36}}} \right)^2} = 185,5\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.
Diện tích cần lát gạch là $168 - 56 - 185,5 = - 73,5\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$ (vô lý).
Xem lại đề bài.


Nếu đề cho diện tích hình tròn bằng $10\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$ thì diện tích phần lát gạch là: $168 - 56 - 10 = 102\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.
Chi phí lát gạch là $102.240 = 24480\,\,\left( {nghin\,\,\mathop{\rm{dong}} \nolimits} \right) = 24,48$ (triệu đồng).


*Note: Đề bài có vấn đề, không tính được diện tích hình tròn lớn nhất.*

Gọi A là biến cố người thứ nhất gọi đúng sau không quá 2 lần gọi, B là biến cố người thứ hai gọi đúng sau không quá 2 lần gọi.
Ta cần tính xác suất $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.


Ta có: $P(A) = P(B) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.


Để tính $P(A \cap B)$, ta xét:

• Xác suất người thứ nhất gọi đúng ở lần gọi đầu tiên là $\frac{1}{10}$. Khi đó, xác suất người thứ hai gọi đúng trong không quá hai lần gọi là $\frac{2}{9}$. Vây xác suất cả hai cùng gọi đúng là $\frac{1}{10} \cdot \frac{2}{9} = \frac{2}{90}$.


• Xác suất người thứ nhất gọi sai ở lần gọi đầu tiên và đúng ở lần gọi thứ hai là $\frac{9}{10} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{10}$. Khi đó, xác suất người thứ hai gọi đúng trong không quá hai lần gọi là $\frac{2}{8}$. Vậy xác suất cả hai cùng gọi đúng là $\frac{1}{10} \cdot \frac{2}{8} = \frac{2}{80}$.

Do đó $P(A \cap B) = \frac{2}{90} + \frac{2}{80} = \frac{1}{45} + \frac{1}{40} = \frac{8+9}{360} = \frac{17}{360}$.


Vậy $P(A \cup B) = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{17}{360} = \frac{72 + 72 - 17}{360} = \frac{127}{360}$ (Đáp án không khớp với các lựa chọn, có thể đề bài hoặc các đáp án bị sai).

Tuy nhiên, nếu đề bài yêu cầu là *ít nhất một người gọi đúng trong lần gọi đầu tiên hoặc lần gọi thứ hai*, thì:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{2}{10} + \frac{2}{10} - \frac{2}{10} \cdot \frac{2}{10} = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{5} - \frac{1}{25} = \frac{10-1}{25} = \frac{9}{25}$. (Đáp án này cũng không khớp)

Một cách giải khác (có lẽ đây là ý đồ của người ra đề): Tính xác suất để *cả hai* người gọi *sai* không quá hai lần gọi, rồi lấy phần bù.
$P(A^c) = 1 - \frac{2}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$. Tương tự $P(B^c) = \frac{4}{5}$.
Vậy $P(A^c \cap B^c) = \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{16}{25}$.
Do đó $P(A \cup B) = 1 - P(A^c \cap B^c) = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$.

Nhưng cách này lại không phù hợp với giả thiết "không lặp lại các số đã thử".

Tính xác suất để mỗi người gọi đúng không quá hai lần, *biết* rằng họ không lặp lại các số đã thử:
$P(A) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
$P(B) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
Để tính $P(A \cup B)$, ta cần tính $P(A \cap B)$.
Trường hợp 1: Cả hai người đều gọi đúng ở lần đầu tiên: $\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{100}$
Trường hợp 2: Người thứ nhất gọi đúng ở lần đầu, người thứ hai gọi đúng ở lần thứ hai: $\frac{1}{10} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{100}$
Trường hợp 3: Người thứ nhất gọi đúng ở lần thứ hai, người thứ hai gọi đúng ở lần đầu: $\frac{9}{10} \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{100}$
Trường hợp 4: Cả hai người đều gọi đúng ở lần thứ hai: $\frac{9}{10} \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{100}$
Do đó $P(A \cap B) = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$
$P(A \cup B) = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{25} = \frac{10-1}{25} = \frac{9}{25}$.

Một cách tiếp cận khác: Tính xác suất người thứ nhất *hoặc* người thứ hai gọi đúng *trong hai lần đầu tiên*.
Xác suất người thứ nhất gọi sai cả hai lần: $\frac{8}{10} \cdot \frac{7}{9} = \frac{56}{90} = \frac{28}{45}$.
Xác suất người thứ hai gọi sai cả hai lần: $\frac{8}{10} \cdot \frac{7}{9} = \frac{56}{90} = \frac{28}{45}$.
Xác suất cả hai người cùng gọi sai cả hai lần: $\frac{8}{10} \cdot \frac{7}{9} \cdot \frac{6}{8} \cdot \frac{5}{7} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$
Vậy $P(A \cup B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ (Không có đáp án thích hợp).

Nếu mỗi người được gọi *tối đa* hai lần (và không lặp lại số), thì
P(người 1 sai cả hai lần) = (8/10) * (7/9) = 56/90 = 28/45
P(người 2 sai cả hai lần) = (8/10) * (7/9) = 56/90 = 28/45
P(ít nhất 1 người đúng trong 2 lần) = 1 - P(cả 2 người sai)
P(cả 2 người sai) = P(người 1 sai 2 lần) * P(người 2 sai 2 lần | người 1 sai 2 lần) = (8/10 * 7/9) * (6/8 * 5/7) = 56/90 * 30/56 = 1/3 = 30/90
1 - 30/90 = 60/90 = 2/3

Nếu chỉ xét 2 lần đầu của mỗi người (và không quan tâm đến người còn lại), xác suất mỗi người gọi đúng trong 2 lần là 2/10 = 1/5. Vậy P(ít nhất 1 người đúng) = 1/5 + 1/5 - 1/25 = 9/25

Nếu xem xét đến *thứ tự* các lần gọi, thì: P(1 đúng 1 sai) = (2/10) * (8/9) + (8/10) * (2/9) = 32/90 = 16/45
P(2 người đều sai cả 2 lần) = (8/10 * 7/9) * (6/8 * 5/7) = 1/3
1-1/3 = 2/3 (không đáp án phù hợp)
Nếu xem cả hai người độc lập với nhau, thì 2/10 + 2/10 - (2/10)*(2/10) = 4/10 - 4/100 = 36/100 gần với 39/100 nhất.

Để tìm chiều cao của ngôi nhà, ta cần tìm điểm cao nhất của giao tuyến hai mặt phẳng (P) và (Q), sau đó tính khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng ($\alpha$).

• Tìm giao tuyến của (P) và (Q):
  
  Giải hệ phương trình:
  $\begin{cases}
  x - y = 0 \\
  x + y - 2z = 0
  \end{cases}$
  
  Suy ra $x = y$ và $2x - 2z = 0$ hay $x = z$. Vậy giao tuyến là đường thẳng $x = y = z$, có thể viết là $t(1, 1, 1)$.


• Tìm điểm M trên giao tuyến sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng ($\alpha$) là lớn nhất (tức là chiều cao của ngôi nhà):
  
  Điểm M có tọa độ $(t, t, t)$.
  
  Khoảng cách từ M đến ($\alpha$) là:
  
  $d(M, (\alpha)) = \frac{|2t + t - 3t + 18|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-3)^2}} = \frac{|18|}{\sqrt{14}} = \frac{18}{\sqrt{14}} \approx 4.8$

Tuy nhiên, vì không có hình vẽ nên ta không biết điểm giao nằm ở vị trí nào so với mặt phẳng ($\alpha$). Bài toán có thể được hiểu là tìm điểm cao nhất thuộc cả hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$. Giao tuyến của $(P)$ và $(Q)$ là đường thẳng $d: x = y = z$. Ta cần tìm điểm trên đường thẳng $d$ sao cho khoảng cách đến $(\alpha)$ là lớn nhất.

Khoảng cách từ điểm $M(t, t, t)$ thuộc $d$ đến $(\alpha)$ là:

$h = \frac{|2t + t - 3t + 18|}{\sqrt{4+1+9}} = \frac{18}{\sqrt{14}} \approx 4.8$ m.

Vì đề bài yêu cầu làm tròn đến hàng phần chục, ta có kết quả là 4.8 m. Tuy nhiên, đáp án này không có trong các lựa chọn. Đề bài có lẽ có lỗi, hoặc cần hình vẽ để xác định chính xác vị trí của ngôi nhà so với các mặt phẳng.

Gọi $a$ là lượng thức ăn dự trữ ban đầu mỗi ngày.
Tổng lượng thức ăn dự trữ là $50a$.
Gọi $n$ là số ngày ăn tối đa.
Ngày thứ nhất ăn $a$.
Ngày thứ hai ăn $a(1+0.01) = 1.01a$.
Ngày thứ ba ăn $a(1.01)^2$.
...
Ngày thứ $n$ ăn $a(1.01)^{n-1}$.
Tổng lượng thức ăn ăn trong $n$ ngày là:
$S = a + a(1.01) + a(1.01)^2 + ... + a(1.01)^{n-1} = a(1 + 1.01 + 1.01^2 + ... + 1.01^{n-1})$.
Đây là tổng của cấp số nhân với $u_1 = 1$ và $q = 1.01$.
$S = a\dfrac{1 - 1.01^n}{1 - 1.01} = a\dfrac{1.01^n - 1}{0.01} = 100a(1.01^n - 1)$.
Ta có $S \le 50a$ hay $100a(1.01^n - 1) \le 50a$ suy ra $100(1.01^n - 1) \le 50$ hay $1.01^n - 1 \le 0.5$ hay $1.01^n \le 1.5$.
Lấy logarit tự nhiên 2 vế: $n \ln(1.01) \le \ln(1.5)$ suy ra $n \le \dfrac{\ln(1.5)}{\ln(1.01)} \approx 40.75$.
Vậy số ngày tối đa là 40.