JavaScript is required

Câu hỏi:

Người ta lát gạch trang trí một mảnh sân hình chữ nhật có kích thước \[14{\rm{m}} \times 12{\rm{m}}\] như hình vẽ dưới, trong đó \[\left( {{P_1}} \right),\,\,\left( {{P_2}} \right)\] là hai parabol đối xứng trục với nhau qua trục đối xứng vuông góc với chiều dài của mảnh sân, \[\left( C \right)\] là đường tròn có tâm trùng với tâm của mảnh sân và lần lượt có duy nhất một điểm chung với các parabol đó (tham khảo hình vẽ biết phần gạch đậm là phần lát gạch). Chi phí cho phần lát gạch là \[240\] nghìn đồng một mét vuông. Trong trường hợp hình tròn \[\left( C \right)\] có diện tích lớn nhất thì chi phí lát gạch là bao nhiêu triệu đồng? (kết quả làm tròn tới hàng phần chục).

v (ảnh 1)

Trả lời:

Đáp án đúng:


Gọi $I$ là tâm của hình chữ nhật, $r$ là bán kính đường tròn $(C)$. Parabol $(P_1)$ có phương trình $y = a{x^2} + b$ với đỉnh là $I(0;0)$ và đi qua điểm $(7;6)$ nên $6 = a{.7^2} \Rightarrow a = \dfrac{6}{{49}}$. Vậy $(P_1):y = \dfrac{6}{{49}}{x^2}$. Đường tròn $(C):{x^2} + {y^2} = {r^2}$. Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(P_1)$ và $(C)$: $\dfrac{{36}}{{{{49}^2}}}{x^4} + {x^2} = {r^2} \Leftrightarrow \dfrac{{36}}{{{{49}^2}}}{x^4} + {x^2} - {r^2} = 0$. Để $(C)$ tiếp xúc với $(P_1)$ thì phương trình trên có nghiệm duy nhất $x^2$. Điều này xảy ra khi phương trình có nghiệm kép. Đặt $t = {x^2} \ge 0$, ta có $\dfrac{{36}}{{{{49}^2}}}{t^2} + t - {r^2} = 0$ (*). $\Delta = 1 + 4.\dfrac{{36}}{{{{49}^2}}}{r^2} = 0 \Leftrightarrow {r^2} = - \dfrac{{{{49}^2}}}{{4.36}}$ (vô lý). Vậy phương trình (*) có nghiệm kép khi $t = 0 \Leftrightarrow r = 0$ (không thỏa mãn). Để phương trình (*) có nghiệm duy nhất thì $\Delta > 0$ và $t_1 < 0 < t_2$. Khi đó ${r^2} = - \dfrac{{{{49}^2}}}{{4.36}}t_1 > 0 \Rightarrow t_1 = - \dfrac{{{{49}^2}}}{{4.36}}{r^2}$. $t_1 + t_2 = - \dfrac{{{{49}^2}}}{{36}}$ và ${t_1}{t_2} = - \dfrac{{{{49}^2}}}{{36}}{r^2} \Rightarrow {t_2} = - \dfrac{{36}}{{{{49}^2}}}{r^2} - \dfrac{{{{49}^2}}}{{36}}$. $t_2 > 0 \Rightarrow - \dfrac{{36}}{{{{49}^2}}}{r^2} - \dfrac{{{{49}^2}}}{{36}} > 0 \Leftrightarrow {r^2} < \dfrac{{{{49}^4}}}{{{{36}^2}}} \Rightarrow r < \dfrac{{{{49}^2}}}{{36}}$. Diện tích hình tròn lớn nhất khi $r = \dfrac{{{{49}^2}}}{{36}}$. Diện tích hình chữ nhật là $14.12 = 168\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$. Diện tích hình giới hạn bởi hai parabol là $2.\dfrac{2}{3}.7.6 = 56\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$. Diện tích hình tròn là $S = \pi {r^2} = \pi .{\left( {\dfrac{{{{49}^2}}}{{36}}} \right)^2} = 185,5\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$. Diện tích cần lát gạch là $168 - 56 - 185,5 = - 73,5\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$ (vô lý). Xem lại đề bài.
Nếu đề cho diện tích hình tròn bằng $10\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$ thì diện tích phần lát gạch là: $168 - 56 - 10 = 102\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$. Chi phí lát gạch là $102.240 = 24480\,\,\left( {nghin\,\,\mathop{\rm{dong}} \nolimits} \right) = 24,48$ (triệu đồng).
*Note: Đề bài có vấn đề, không tính được diện tích hình tròn lớn nhất.*

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Câu hỏi liên quan