Gọi A là biến cố người thứ nhất gọi đúng sau không quá 2 lần gọi, B là biến cố người thứ hai gọi đúng sau không quá 2 lần gọi.
Ta cần tính xác suất $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
Ta có: $P(A) = P(B) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Để tính $P(A \cap B)$, ta xét:
- Xác suất người thứ nhất gọi đúng ở lần gọi đầu tiên là $\frac{1}{10}$. Khi đó, xác suất người thứ hai gọi đúng trong không quá hai lần gọi là $\frac{2}{9}$. Vây xác suất cả hai cùng gọi đúng là $\frac{1}{10} \cdot \frac{2}{9} = \frac{2}{90}$.
- Xác suất người thứ nhất gọi sai ở lần gọi đầu tiên và đúng ở lần gọi thứ hai là $\frac{9}{10} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{10}$. Khi đó, xác suất người thứ hai gọi đúng trong không quá hai lần gọi là $\frac{2}{8}$. Vậy xác suất cả hai cùng gọi đúng là $\frac{1}{10} \cdot \frac{2}{8} = \frac{2}{80}$.
Do đó $P(A \cap B) = \frac{2}{90} + \frac{2}{80} = \frac{1}{45} + \frac{1}{40} = \frac{8+9}{360} = \frac{17}{360}$.
Vậy $P(A \cup B) = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{17}{360} = \frac{72 + 72 - 17}{360} = \frac{127}{360}$ (Đáp án không khớp với các lựa chọn, có thể đề bài hoặc các đáp án bị sai).
Tuy nhiên, nếu đề bài yêu cầu là *ít nhất một người gọi đúng trong lần gọi đầu tiên hoặc lần gọi thứ hai*, thì:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{2}{10} + \frac{2}{10} - \frac{2}{10} \cdot \frac{2}{10} = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{5} - \frac{1}{25} = \frac{10-1}{25} = \frac{9}{25}$. (Đáp án này cũng không khớp)
Một cách giải khác (có lẽ đây là ý đồ của người ra đề): Tính xác suất để *cả hai* người gọi *sai* không quá hai lần gọi, rồi lấy phần bù.
$P(A^c) = 1 - \frac{2}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$. Tương tự $P(B^c) = \frac{4}{5}$.
Vậy $P(A^c \cap B^c) = \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{16}{25}$.
Do đó $P(A \cup B) = 1 - P(A^c \cap B^c) = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$.
Nhưng cách này lại không phù hợp với giả thiết "không lặp lại các số đã thử".
Tính xác suất để mỗi người gọi đúng không quá hai lần, *biết* rằng họ không lặp lại các số đã thử:
$P(A) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
$P(B) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
Để tính $P(A \cup B)$, ta cần tính $P(A \cap B)$.
Trường hợp 1: Cả hai người đều gọi đúng ở lần đầu tiên: $\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{100}$
Trường hợp 2: Người thứ nhất gọi đúng ở lần đầu, người thứ hai gọi đúng ở lần thứ hai: $\frac{1}{10} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{100}$
Trường hợp 3: Người thứ nhất gọi đúng ở lần thứ hai, người thứ hai gọi đúng ở lần đầu: $\frac{9}{10} \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{100}$
Trường hợp 4: Cả hai người đều gọi đúng ở lần thứ hai: $\frac{9}{10} \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{100}$
Do đó $P(A \cap B) = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$
$P(A \cup B) = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{25} = \frac{10-1}{25} = \frac{9}{25}$.
Một cách tiếp cận khác: Tính xác suất người thứ nhất *hoặc* người thứ hai gọi đúng *trong hai lần đầu tiên*.
Xác suất người thứ nhất gọi sai cả hai lần: $\frac{8}{10} \cdot \frac{7}{9} = \frac{56}{90} = \frac{28}{45}$.
Xác suất người thứ hai gọi sai cả hai lần: $\frac{8}{10} \cdot \frac{7}{9} = \frac{56}{90} = \frac{28}{45}$.
Xác suất cả hai người cùng gọi sai cả hai lần: $\frac{8}{10} \cdot \frac{7}{9} \cdot \frac{6}{8} \cdot \frac{5}{7} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$
Vậy $P(A \cup B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ (Không có đáp án thích hợp).
Nếu mỗi người được gọi *tối đa* hai lần (và không lặp lại số), thì
P(người 1 sai cả hai lần) = (8/10) * (7/9) = 56/90 = 28/45
P(người 2 sai cả hai lần) = (8/10) * (7/9) = 56/90 = 28/45
P(ít nhất 1 người đúng trong 2 lần) = 1 - P(cả 2 người sai)
P(cả 2 người sai) = P(người 1 sai 2 lần) * P(người 2 sai 2 lần | người 1 sai 2 lần) = (8/10 * 7/9) * (6/8 * 5/7) = 56/90 * 30/56 = 1/3 = 30/90
1 - 30/90 = 60/90 = 2/3
Nếu chỉ xét 2 lần đầu của mỗi người (và không quan tâm đến người còn lại), xác suất mỗi người gọi đúng trong 2 lần là 2/10 = 1/5. Vậy P(ít nhất 1 người đúng) = 1/5 + 1/5 - 1/25 = 9/25
Nếu xem xét đến *thứ tự* các lần gọi, thì: P(1 đúng 1 sai) = (2/10) * (8/9) + (8/10) * (2/9) = 32/90 = 16/45
P(2 người đều sai cả 2 lần) = (8/10 * 7/9) * (6/8 * 5/7) = 1/3
1-1/3 = 2/3 (không đáp án phù hợp)
Nếu xem cả hai người độc lập với nhau, thì 2/10 + 2/10 - (2/10)*(2/10) = 4/10 - 4/100 = 36/100 gần với 39/100 nhất.