Câu hỏi:

Đổi $68 \frac{km}{h} = \frac{170}{9} \frac{m}{s}$

Thời gian ô tô đi với vận tốc không đổi là $4s$, quãng đường đi được là $s_1 = \frac{170}{9}*4 = \frac{680}{9} m$

Thời gian ô tô tăng tốc là $16-4 = 12s$

Vận tốc của ô tô sau khi tăng tốc là: $v(t) = \int a(t) dt = \int k\sqrt{t} dt = \frac{2}{3}kt^{\frac{3}{2}} + C$.

$v(0) = \frac{170}{9} \Rightarrow C = \frac{170}{9} $

$v(t) = \frac{2}{3}kt^{\frac{3}{2}} + \frac{170}{9}$

Quãng đường đi được sau khi tăng tốc là:

$s_2 = \int_{0}^{12} (\frac{2}{3}kt^{\frac{3}{2}} + \frac{170}{9}) dt = (\frac{4}{15}kt^{\frac{5}{2}} + \frac{170}{9}t)|_{0}^{12} = \frac{4}{15}k*12^{\frac{5}{2}} + \frac{170}{9}*12 $

Tổng quãng đường là $240 = s_1 + s_2 = \frac{680}{9} + \frac{4}{15}k*12^{\frac{5}{2}} + \frac{170}{9}*12 \Leftrightarrow k = -\frac{5\sqrt{3}}{36}$

a) $s_2 = 240 - \frac{680}{9} = \frac{1480}{9} \approx 164.44 m $ => a) sai

b) $k = -\frac{5\sqrt{3}}{36} \approx -0.24$ => b) sai

c) $S = \int_{0}^{t} (\frac{2}{3}kt^{\frac{3}{2}} + \frac{170}{9}) dt = (\frac{4}{15}kt^{\frac{5}{2}} + \frac{170}{9}t)|_{0}^{t} = \frac{4}{15}kt^{\frac{5}{2}} + \frac{170}{9}t$. Thay $k = -\frac{5\sqrt{3}}{36}$ => c) đúng

d) $v(30) = \frac{2}{3}*(-0.24)*30^{\frac{3}{2}} + \frac{170}{9} = -8.31 + 18.89 = 10.58 \frac{m}{s} = 38.08 \frac{km}{h} < 120 \frac{km}{h}$ => d) đúng

Giải thích:

• a) Số con báo đốm đã được tiêm phòng là 10 con (đề bài đã cho).


• b) Số con sư tử chưa được tiêm phòng là $15 - 6 = 9$ con.


• c) Xác suất để chọn ra một con sư tử đã được tiêm phòng là $\dfrac{6}{40} = \dfrac{3}{20}$.


• d) Số con vật chưa được tiêm phòng là $(25-10) + (15-6) = 15 + 9 = 24$. Vậy xác suất để chọn ra một con vật chưa được tiêm phòng là $\dfrac{24}{40} = \dfrac{3}{5}$.

Gọi $x$ là khoảng cách từ chân cầu phía $B$ đến vị trí $B'$ đối xứng với $B$ qua bờ sông. Khi đó, độ dài đường đi từ $A$ đến $B$ qua cầu là $d = \sqrt{5^2 + x^2} + \sqrt{7^2 + (MN-x)^2}$.

Để tìm giá trị nhỏ nhất của $d$, ta xét điểm $A'$ đối xứng với $A$ qua bờ sông. Khi đó, $AA' = 10$ và $A'M = AM$.

Độ dài đường đi trở thành $d = A'M + NB$. Do $NB = NB'$, nên $d = A'M + MB'$.

Đường đi ngắn nhất khi $A', M, N, B'$ thẳng hàng. Khi đó, ta có hai tam giác đồng dạng.

Gọi $x$ là khoảng cách từ chân cầu $N$ phía $B$ đến $B'$, và $y$ là khoảng cách từ $N$ đến $A'$. Ta có $\frac{x}{y} = \frac{7}{5}$.

Ta cũng biết $x + y = MN$, và $MN=336$.

Suy ra $x = \frac{7}{12}MN = \frac{7}{12} \cdot AB =\frac{7}{12} \cdot 336 = \frac{7*336}{12} = 7 \cdot 28 = 196$

Từ đồng dạng ta có $\frac{x}{7} = \frac{MN}{\sqrt{(5+7)^2 + MN^2}}$ hay
$\frac{x}{7} = \frac{MN}{AB} = \frac{MN}{\sqrt{12^2 + MN^2}}$

Đặt $MN=a$, ta cần tìm $x$ sao cho $AM + NB$ nhỏ nhất, ta có $d=AM+NB = \sqrt{5^2+(a-x)^2} + \sqrt{7^2+x^2}$

Để $d$ nhỏ nhất, ta cần dựng điểm $A'$ đối xứng $A$ qua mặt sông. Khi đó ta có $A'M = AM$. Do đó $d = A'M + NB = A'M+NB'$. Vậy $d$ ngắn nhất khi $A', M, N, B'$ thẳng hàng. Khi đó $A', B'$ cố định nên để $d$ ngắn nhất thì $MN$ phải vuông góc với hai bờ sông.

Khi đó $x$ là khoảng cách từ $B'$ đến bờ sông $MN$, ta có $\frac{x}{7} = \frac{a}{\sqrt{12^2+a^2}}$. Từ hình ta có

$x = \frac{7a}{\sqrt{144+a^2}} = 6.055... \approx 6$

Vậy nên xây cây cầu cách thành phố $B$ khoảng 6 km.

Gọi $P$ là độ lớn của vector $\vec{P}$, ta có:

• $\vec{P} = \vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}$


• $|\vec{P}| = |\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}|$

Theo đề bài, ta có $|\vec{GA}| = GA, |\vec{GB}| = GB, |\vec{GC}| = GC$.


Giả sử $GA = GB = GC = x$, suy ra $\vec{GA}, \vec{GB}, \vec{GC}$ cùng độ lớn. Theo hình vẽ, $A, B, C$ nằm trên một đường tròn và $G$ là tâm đường tròn này. Do đó, $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$. Điều này mâu thuẫn với $\vec{P} = \vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}$.


Tuy nhiên, nếu ta hiểu đề bài theo nghĩa độ lớn của $\vec{P}$ bằng tổng độ dài $GA + GB + GC$, tức là $P = GA + GB + GC$, thì ta không thể tìm ra giá trị cụ thể của $T$ mà không có thêm thông tin.


Xét trường hợp ba vector $\vec{GA}$, $\vec{GB}$, $\vec{GC}$ cùng phương.
Khi đó: $P = GA + GB + GC = T$


Nếu $\vec{P} = \vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}$ thì $|\vec{P}|^2 = (\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC})^2 = GA^2 + GB^2 + GC^2 + 2\vec{GA}.\vec{GB} + 2\vec{GB}.\vec{GC} + 2\vec{GC}.\vec{GA}$


Nếu A, B, C thẳng hàng, và G nằm giữa A, C sao cho GA = GC = x, GB = 2x. Khi đó P= 2x (do \vec{GA} + \vec{GC}=\vec{0} ) và do đó T= 4x =2P.

Để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau:

• 1. Tính giá trị đại diện của mỗi nhóm: $x_i$ là trung bình của hai đầu mút của mỗi khoảng.


• 2. Tính tần số của mỗi nhóm: $n_i$ là số lần xuất hiện của mỗi khoảng (đã cho trong bảng).


• 3. Tính trung bình mẫu: $\bar{x} = \frac{\sum{n_i x_i}}{\sum{n_i}}$


• 4. Tính phương sai mẫu: $s^2 = \frac{\sum{n_i (x_i - \bar{x})^2}}{\sum{n_i} - 1}$

Từ bảng số liệu:

• Nhóm [5.5; 6.5): $x_1 = 6, n_1 = 4$


• Nhóm [6.5; 7.5): $x_2 = 7, n_2 = 14$


• Nhóm [7.5; 8.5): $x_3 = 8, n_3 = 10$


• Nhóm [8.5; 9.5): $x_4 = 9, n_4 = 2$

Tổng số mẫu: $N = \sum{n_i} = 4 + 14 + 10 + 2 = 30$

Trung bình mẫu:
$\bar{x} = \frac{4 \cdot 6 + 14 \cdot 7 + 10 \cdot 8 + 2 \cdot 9}{30} = \frac{24 + 98 + 80 + 18}{30} = \frac{220}{30} = \frac{22}{3} \approx 7.33$

Phương sai mẫu:
$s^2 = \frac{4(6 - 7.33)^2 + 14(7 - 7.33)^2 + 10(8 - 7.33)^2 + 2(9 - 7.33)^2}{30 - 1} $
$s^2 = \frac{4(-1.33)^2 + 14(-0.33)^2 + 10(0.67)^2 + 2(1.67)^2}{29}$
$s^2 = \frac{4(1.7689) + 14(0.1089) + 10(0.4489) + 2(2.7889)}{29}$
$s^2 = \frac{7.0756 + 1.5246 + 4.489 + 5.5778}{29} = \frac{18.667}{29} \approx 0.6436 \cdot 3 = 1.15$