JavaScript is required

Câu hỏi:

Hai thành phố cách nhau một con sông. Người ta xây dựng một cây cầu bắc qua sông biết rằng thành phố cách con sông một khoảng là 5 km và thành phố cách con sông một khoảng là 7 km (hình vẽ), biết và độ dài không đổi. Hỏi nên xây cây cầu cách thành phố bao nhiêu kilômét để đường đi từ thành phố đến thành phố là ngắn nhất, biết đi theo đường (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trả lời:

Đáp án đúng:


Gọi $x$ là khoảng cách từ chân cầu phía $B$ đến vị trí $B'$ đối xứng với $B$ qua bờ sông. Khi đó, độ dài đường đi từ $A$ đến $B$ qua cầu là $d = \sqrt{5^2 + x^2} + \sqrt{7^2 + (MN-x)^2}$. Để tìm giá trị nhỏ nhất của $d$, ta xét điểm $A'$ đối xứng với $A$ qua bờ sông. Khi đó, $AA' = 10$ và $A'M = AM$. Độ dài đường đi trở thành $d = A'M + NB$. Do $NB = NB'$, nên $d = A'M + MB'$. Đường đi ngắn nhất khi $A', M, N, B'$ thẳng hàng. Khi đó, ta có hai tam giác đồng dạng. Gọi $x$ là khoảng cách từ chân cầu $N$ phía $B$ đến $B'$, và $y$ là khoảng cách từ $N$ đến $A'$. Ta có $\frac{x}{y} = \frac{7}{5}$. Ta cũng biết $x + y = MN$, và $MN=336$. Suy ra $x = \frac{7}{12}MN = \frac{7}{12} \cdot AB =\frac{7}{12} \cdot 336 = \frac{7*336}{12} = 7 \cdot 28 = 196$ Từ đồng dạng ta có $\frac{x}{7} = \frac{MN}{\sqrt{(5+7)^2 + MN^2}}$ hay $\frac{x}{7} = \frac{MN}{AB} = \frac{MN}{\sqrt{12^2 + MN^2}}$ Đặt $MN=a$, ta cần tìm $x$ sao cho $AM + NB$ nhỏ nhất, ta có $d=AM+NB = \sqrt{5^2+(a-x)^2} + \sqrt{7^2+x^2}$ Để $d$ nhỏ nhất, ta cần dựng điểm $A'$ đối xứng $A$ qua mặt sông. Khi đó ta có $A'M = AM$. Do đó $d = A'M + NB = A'M+NB'$. Vậy $d$ ngắn nhất khi $A', M, N, B'$ thẳng hàng. Khi đó $A', B'$ cố định nên để $d$ ngắn nhất thì $MN$ phải vuông góc với hai bờ sông. Khi đó $x$ là khoảng cách từ $B'$ đến bờ sông $MN$, ta có $\frac{x}{7} = \frac{a}{\sqrt{12^2+a^2}}$. Từ hình ta có $x = \frac{7a}{\sqrt{144+a^2}} = 6.055... \approx 6$ Vậy nên xây cây cầu cách thành phố $B$ khoảng 6 km.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Câu hỏi liên quan