Gọi $\alpha$ là góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên $AC$ là hình chiếu của $SC$ trên $(ABCD)$.

Do đó, $ \alpha = \widehat{(SC, (ABCD))} = \widehat{(SC, AC)} = \widehat{SCA}$.

Xét tam giác $SAC$ vuông tại $A$, ta có: $tan(\widehat{SCA}) = \frac{SA}{AC} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Suy ra $\widehat{SCA} = arctan(\frac{1}{\sqrt{2}})$.

Nhưng vì $SA = a$ và $AC = a\sqrt{2}$ ta có $tan \alpha = \frac{SA}{AC} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Điều này không có trong các đáp án, xem xét lại đề bài.

Nếu đề bài cho $AC=a$ thì $tan \alpha = \frac{SA}{AC} = \frac{a}{a} = 1$, suy ra $\alpha = 45^\circ$.

Câu 12:

Cho tứ diện

có

đôi một vuông góc với nhau và

Thể tích của khối tứ diện

bằng

Lời giải:

Đáp án đúng: a

Thể tích khối tứ diện $OABC$ là: $V = \frac{1}{6}OA.OB.OC = \frac{1}{6}.2.3.4 = 4$.

Câu 13:

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số

a) Hàm số có tập xác định là

b) Hàm số đã cho đồng biến trên

c) Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 8.

d) đạt được khi

Lời giải:

Đáp án đúng:

a) Hàm số $y = \frac{x^2 - 3x + 5}{x-2}$ có tập xác định là $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$. Vậy a) là sai.

b) $y' = \frac{(2x-3)(x-2) - (x^2-3x+5)}{(x-2)^2} = \frac{2x^2 - 7x + 6 - x^2 + 3x - 5}{(x-2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 1}{(x-2)^2}$.

$y' = 0 \Leftrightarrow x^2 - 4x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \pm \sqrt{3}$.

$y' > 0$ khi $x \in (-\infty; 2-\sqrt{3}) \cup (2+\sqrt{3}; +\infty)$.

$y' < 0$ khi $x \in (2-\sqrt{3}; 2) \cup (2; 2+\sqrt{3})$.

Hàm số đồng biến trên $(2+\sqrt{3}; +\infty) \subset (2; +\infty)$. Vậy b) là đúng.

c) Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2 + \sqrt{3}$.

$y(2+\sqrt{3}) = \frac{(2+\sqrt{3})^2 - 3(2+\sqrt{3}) + 5}{2+\sqrt{3} - 2} = \frac{4 + 4\sqrt{3} + 3 - 6 - 3\sqrt{3} + 5}{\sqrt{3}} = \frac{6+\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} + 1 \neq 8$. Vậy c) là sai.

d) $\lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 3x + 5}{x-2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x - 3 + 5/x}{1 - 2/x} = +\infty \neq 5$. Vậy d) là sai.

Câu 14:

Một chất điểm chuyển động theo quy luật vận tốc có dạng đường Parabol khi và có dạng đường thẳng khi (tham khảo hình vẽ bên). Cho đỉnh Parabol là

a) Phương trình Parabol có dạng:

b) Quãng đường chất điểm di chuyển trong khoảng thời gian từ đến giây là

c) Quãng đường chất điểm di chuyển trong khoảng thời gian từ đến giây là

d) Quãng đường đi được của chất điểm trong thời gian từ đến giây là

Lời giải:

Đáp án đúng:

Đỉnh Parabol $I(1;3)$ suy ra:\

$-\frac{b}{2a} = 1$
$a+b+c = 3$

Parabol đi qua gốc tọa độ nên $c = 0$. Ta có hệ phương trình:
$\begin{cases}-\frac{b}{2a} = 1 \\a+b = 3 \\c = 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}b = -2a \\a - 2a = 3 \\c = 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}a = -3 \\b = 6 \\c = 0\end{cases}$
Vậy phương trình Parabol là $v(t) = -3t^2 + 6t$.

Câu 15:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng

a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng là

b) Đường thẳng vuông góc với có vectơ chỉ phương là

c) Đường thẳng cắt mặt phẳng tại điểm có hoành độ bằng 2

d) Đường thẳng qua , nằm trong mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng có phương trình là

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có đường thẳng $d$ có phương trình $\frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-2}{1}$ suy ra $d$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (2, -1, 1)$. Vậy đáp án A đúng.

Kiểm tra B: Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1, 2, 1)$. Vì $\overrightarrow{u} \neq k\overrightarrow{n}$ nên $d$ không vuông góc với $(P)$.
Kiểm tra C: Thay $x = 2$ vào phương trình đường thẳng $d$, ta có: $\frac{2-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-2}{1} \Leftrightarrow y = -\frac{3}{2}, z = \frac{3}{2}$. Thay tọa độ $(2, -\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ vào phương trình $(P)$: $2 + 2(-\frac{3}{2}) + \frac{3}{2} - 4 = 2 - 3 + \frac{3}{2} - 4 = -\frac{9}{2} \neq 0$ nên $d$ không cắt $(P)$ tại điểm có hoành độ bằng 2.
Kiểm tra D: $M(1, -1, 2)$ thuộc $d$ vì $\frac{1-1}{2} = \frac{-1+1}{-1} = \frac{2-2}{1} = 0$. Thay tọa độ $M$ vào phương trình $(P)$: $1 + 2(-1) + 2 - 4 = -3 \neq 0$ nên $M$ không thuộc $(P)$, do đó $d$ không nằm trong $(P)$.

Câu 16:

Một kho hàng có sản phẩm loại I và sản phẩm loại II, trong đó có sản phẩm loại I bị hỏng, sản phẩm loại II bị hỏng. Các sản phẩm có kích thước và hình dạng như nhau. Một khách hàng chọn ngẫu nhiên sản phẩm. Xét các biến cố:

: “Khách hàng chọn được sản phẩm loại I”;

: “Khách hàng chọn được sản phẩm không bị hỏng”.

Lời giải: