JavaScript is required

Câu hỏi:

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.

Cho một tấm nhôm hình vuông có cạnh m như hình vẽ dưới đây.

Người ta cắt phần tô đậm của tấm nhôm rồi gập thành hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng m. Khoảng cách từ đỉnh tới mặt đáy bằng m, với là các số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức .

Trả lời:

Đáp án đúng:


Gọi cạnh đáy của hình chóp tứ giác đều là $x (0 < x < a)$.
Khi đó, cạnh bên của hình chóp là $\dfrac{a-x}{2}$.
Độ dài đường cao của hình chóp là: $h = \sqrt{(\dfrac{a-x}{2})^2 - (\dfrac{x\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{\dfrac{a^2 - 2ax - x^2}{4}} = \dfrac{\sqrt{a^2 - 2ax - x^2}}{2}$.
Thể tích của khối chóp là: $V = \dfrac{1}{3}x^2h = \dfrac{1}{6}x^2\sqrt{a^2 - 2ax - x^2}$
Xét hàm $f(x) = x^4(a^2 - 2ax - x^2) = -x^6 - 2ax^5 + a^2x^4$.
$f'(x) = -6x^5 - 10ax^4 + 4a^2x^3 = 0 \Leftrightarrow -6x^2 - 10ax + 4a^2 = 0 \Leftrightarrow 3x^2 + 5ax - 2a^2 = 0 \Leftrightarrow (3x-a)(x+2a) = 0$.
Vì $x>0$ nên $3x = a \Leftrightarrow x = \dfrac{a}{3}$.
Ta có $V_{max} = \dfrac{1}{6}.(\dfrac{a}{3})^2.\dfrac{\sqrt{a^2 - 2a.\dfrac{a}{3} - (\dfrac{a}{3})^2}}{2} = \dfrac{1}{6}.\dfrac{a^2}{9}.\dfrac{\sqrt{a^2 - \dfrac{2a^2}{3} - \dfrac{a^2}{9}}}{2} = \dfrac{a^2}{54}.\dfrac{\sqrt{\dfrac{9a^2 - 6a^2 - a^2}{9}}}{2} = \dfrac{a^2}{54}.\dfrac{\sqrt{\dfrac{2a^2}{9}}}{2} = \dfrac{a^2}{54}.\dfrac{a\sqrt{2}}{6} = \dfrac{a^3\sqrt{2}}{324}$
$V_{max} = \dfrac{1}{3} . (\dfrac{a}{3})^2 . \dfrac{a}{3} = \dfrac{a^3}{36}$

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Câu hỏi liên quan