Câu hỏi:
Cho tứ diện đều \(ABCD\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng \(AB\) và mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\). Tính \({\rm{cos}}\varphi \).
Trả lời:
Đáp án đúng: B
Gọi $M$ là trung điểm của $CD$. Vì $ABCD$ là tứ diện đều, nên $AM \perp CD$ và $BM \perp CD$. Suy ra $(ABM) \perp CD$.
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$. Khi đó, $AG \perp (BCD)$. Góc giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $(BCD)$ là góc $\angle ABG = \varphi$.
Ta có $BG = \frac{2}{3}BM$. Xét tam giác $ABG$ vuông tại $G$, ta có:
$\cos \varphi = \cos \angle ABG = \frac{BG}{AB} = \frac{\frac{2}{3}BM}{AB}$.
Vì $ABCD$ là tứ diện đều cạnh $a$ nên $BM = a\frac{\sqrt{3}}{2}$ và $AB=a$.
Suy ra $\cos \varphi = \frac{\frac{2}{3}.a\frac{\sqrt{3}}{2}}{a} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$. Khi đó, $AG \perp (BCD)$. Góc giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $(BCD)$ là góc $\angle ABG = \varphi$.
Ta có $BG = \frac{2}{3}BM$. Xét tam giác $ABG$ vuông tại $G$, ta có:
$\cos \varphi = \cos \angle ABG = \frac{BG}{AB} = \frac{\frac{2}{3}BM}{AB}$.
Vì $ABCD$ là tứ diện đều cạnh $a$ nên $BM = a\frac{\sqrt{3}}{2}$ và $AB=a$.
Suy ra $\cos \varphi = \frac{\frac{2}{3}.a\frac{\sqrt{3}}{2}}{a} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
Câu hỏi liên quan

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Giáo Dục Kinh Tế Và Pháp Luật Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Lịch Sử Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Công Nghệ Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Hóa Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Sinh Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
