Câu hỏi:

Ta xét từng đáp án:

• A: Với mọi $n \in \mathbb{N}$, tích $n(n+1)(n+2)$ là tích của ba số tự nhiên liên tiếp, nên chia hết cho 2 và 3, do đó chia hết cho 6. Vậy nó là số chẵn. Mệnh đề A sai.
• B: $\forall x \in \mathbb{R},{x^2} < 4 \Leftrightarrow - 2 < x < 2$. Mệnh đề B đúng.
• C: Với $n=1$, $n^2 + 1 = 2$ không chia hết cho 3. Mệnh đề C sai.
• D: $\forall x \in \mathbb{R},{x^2} \ge 9 \Leftrightarrow x \ge \pm 3$ là sai vì ${x^2} \ge 9 \Leftrightarrow x \le -3 \lor x \ge 3$. Mệnh đề D sai.

Ta có:

• $A = \cos 10^{\circ} + \cos 20^{\circ} + ... + \cos 170^{\circ} + \cos 180^{\circ}$
• $A = (\cos 10^{\circ} + \cos 170^{\circ}) + (\cos 20^{\circ} + \cos 160^{\circ}) + ... + (\cos 80^{\circ} + \cos 100^{\circ}) + (\cos 90^{\circ}) + \cos 180^{\circ}$

Sử dụng công thức $\cos(180^{\circ} - x) = -\cos(x)$, ta có:

• $\cos 170^{\circ} = \cos (180^{\circ} - 10^{\circ}) = -\cos 10^{\circ}$
• $\cos 160^{\circ} = \cos (180^{\circ} - 20^{\circ}) = -\cos 20^{\circ}$
• ...
• $\cos 100^{\circ} = \cos (180^{\circ} - 80^{\circ}) = -\cos 80^{\circ}$

Do đó:

• $A = (\cos 10^{\circ} - \cos 10^{\circ}) + (\cos 20^{\circ} - \cos 20^{\circ}) + ... + (\cos 80^{\circ} - \cos 80^{\circ}) + 0 + \cos 180^{\circ}$
• $A = 0 + 0 + ... + 0 + 0 + (-1)$
• $A = -1$

Ta có:

• $P$: "Tứ giác $ABCD$ là hình vuông"
• $Q$: "Tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau"

Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ là đúng vì hình vuông là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc.
Mệnh đề đảo của $P \Rightarrow Q$ là $Q \Rightarrow P$ cũng đúng, vì hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc là hình vuông.
Do đó, $P$ và $Q$ tương đương, tức là $P \Leftrightarrow Q$ là mệnh đề đúng.
Vì $P \Leftrightarrow Q$ là đúng, nên $P$ là điều kiện cần và đủ để có $Q$. Các mệnh đề a, b, c đều sai, mệnh đề d đúng.

Ta có $\sin \alpha = \frac{1}{3}$ và $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ nên $\cos \alpha < 0$.
Sử dụng công thức $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, ta có:
$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$
Vì $\cos \alpha < 0$, nên $\cos \alpha = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
Vậy đáp án đúng là b).
Kiểm tra các đáp án khác:
a) $\sin \alpha > 0$ và $\cos \alpha < 0$ nên $\sin \alpha \cdot \cos \alpha < 0$. Vậy a) đúng.
c) $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4} \neq \frac{\sqrt{2}}{4}$. Vậy c) sai.
d) $\tan \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{4}$ và $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = -\frac{4}{\sqrt{2}} = -2\sqrt{2}$.
$\frac{{6\sin \alpha + 3\sqrt 2 \cos \alpha }}{{2\sqrt 2 \tan \alpha + \sqrt 2 \cot \alpha }} = \frac{{6\left( {\frac{1}{3}} \right) + 3\sqrt 2 \left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right)}}{{2\sqrt 2 \left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{4}} \right) + \sqrt 2 \left( { - 2\sqrt 2 } \right)}} = \frac{{2 - 4}}{{ - 1 - 4}} = \frac{{ - 2}}{{ - 5}} = \frac{2}{5}$. Vậy d) đúng.