Câu hỏi:

Ta có:

• $P$: "Tứ giác $ABCD$ là hình vuông"
• $Q$: "Tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau"

Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ là đúng vì hình vuông là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc.
Mệnh đề đảo của $P \Rightarrow Q$ là $Q \Rightarrow P$ cũng đúng, vì hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc là hình vuông.
Do đó, $P$ và $Q$ tương đương, tức là $P \Leftrightarrow Q$ là mệnh đề đúng.
Vì $P \Leftrightarrow Q$ là đúng, nên $P$ là điều kiện cần và đủ để có $Q$. Các mệnh đề a, b, c đều sai, mệnh đề d đúng.

Ta có $\sin \alpha = \frac{1}{3}$ và $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ nên $\cos \alpha < 0$.
Sử dụng công thức $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, ta có:
$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$
Vì $\cos \alpha < 0$, nên $\cos \alpha = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
Vậy đáp án đúng là b).
Kiểm tra các đáp án khác:
a) $\sin \alpha > 0$ và $\cos \alpha < 0$ nên $\sin \alpha \cdot \cos \alpha < 0$. Vậy a) đúng.
c) $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4} \neq \frac{\sqrt{2}}{4}$. Vậy c) sai.
d) $\tan \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{4}$ và $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = -\frac{4}{\sqrt{2}} = -2\sqrt{2}$.
$\frac{{6\sin \alpha + 3\sqrt 2 \cos \alpha }}{{2\sqrt 2 \tan \alpha + \sqrt 2 \cot \alpha }} = \frac{{6\left( {\frac{1}{3}} \right) + 3\sqrt 2 \left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right)}}{{2\sqrt 2 \left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{4}} \right) + \sqrt 2 \left( { - 2\sqrt 2 } \right)}} = \frac{{2 - 4}}{{ - 1 - 4}} = \frac{{ - 2}}{{ - 5}} = \frac{2}{5}$. Vậy d) đúng.

Ta có $A = \{-4, -2, -1, 2, 3, 4\}$ và $B = \{x \in \mathbb{Z} | |x| \le 4\} = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$.
Vì $A \cup X = B$ nên $X \subset B$. Ta có $B \setminus A = \{-3, 0, 1\}$.
Vì $X$ có 4 phần tử và $A \cup X = B$, nên $X$ phải chứa tất cả các phần tử của $B \setminus A$. Vậy $X$ có dạng $X = \{-3, 0, 1, x\}$, trong đó $x \in A$.
Mặt khác, $X \not\subset A$, do đó $x \in B \setminus A$ là không thỏa mãn.
Vậy $x$ phải thuộc $A \cap B = \{-4, -2, -1, 2, 3, 4\}$.
Nhưng $X$ phải là tập hợp con của $B$, vậy $x$ phải thuộc $B$. Suy ra $x \in A \cap B$.
Vì $X$ gồm 4 phần tử và $X \subset B$ và $A \cup X = B$, $X$ phải chứa các phần tử của $B \setminus A = \{-3, 0, 1\}$.
Do đó, $X$ có dạng $X = \{-3, 0, 1, x\}$, với $x \in B \setminus (B \setminus A) = B \setminus \{-3, 0, 1\} = \{-4, -2, -1, 2, 3, 4\}$.
Để $A \cup X = B$, ta cần $X$ phải chứa các phần tử còn thiếu của $A$ để tạo thành $B$.
Vì $X$ có 4 phần tử, nên $X = \{-3, 0, 1, x\}$, với $x$ là một trong các phần tử của $A \cap B = \{-4, -2, -1, 2, 3, 4\}$.
Tuy nhiên, do $X$ phải là tập hợp con của $B$, nên $x \in B$. Do đó, $x \in \{-4, -2, -1, 2, 3, 4\}$.
Vậy $x$ có thể là $-4, -2, -1, 2, 3, 4$. Có 6 khả năng.
Nhưng ta cần xem xét lại. Ta có $B = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$. Vì $A \cup X = B$ và $X$ có 4 phần tử, thì $X$ phải chứa ít nhất các phần tử $B \setminus A = \{-3, 0, 1\}$. Vậy $X = \{-3, 0, 1, x\}$. Vậy $x$ phải thuộc $B$.
$X$ phải bổ sung cho $A$ để được $B$. Các phần tử của $A$ đã có là $-4, -2, -1, 2, 3, 4$. Vậy các phần tử còn thiếu là $-3, 0, 1$. Do $X$ có 4 phần tử, $X = \{-3, 0, 1, x\}$, trong đó $x$ phải thuộc $A$.
Vậy $X$ có thể là một trong các tập $\{ -3, 0, 1, -4\}, \{ -3, 0, 1, -2\}, \{ -3, 0, 1, -1\}, \{ -3, 0, 1, 2\}, \{ -3, 0, 1, 3\}, \{ -3, 0, 1, 4\}$.
Số tập hợp $X$ là 7. Ta có $B \setminus A = \{ -3, 0, 1 \}$. $X$ có 4 phần tử và $X \cup A = B$. Suy ra $X$ phải chứa $-3, 0, 1$. Vậy $X = \{ -3, 0, 1, x \}$, với $x \in A \cap B = \{-4, -2, -1, 2, 3, 4 \}$. Ta thấy $|A \cap B| = 6$. Như vậy, có 6 tập $X$.
Tuy nhiên $X$ cần có 4 phần tử, mà $A \cup X = B$. Các phần tử thiếu của A là -3, 0, 1. X có dạng $X = \{ -3, 0, 1, x \}$. x phải thuộc B và không thuộc \{-3,0,1\}, $B \setminus \{-3,0,1\} = \{-4, -2, -1, 2, 3, 4 \}$. Vậy có 6 cách chọn $x$. Các tập con 4 phần tử $X = \{-3,0,1,-4\}$, $X = \{-3,0,1,-2\}$,$X = \{-3,0,1,-1\}$,$X = \{-3,0,1,2\}$,$X = \{-3,0,1,3\}$,$X = \{-3,0,1,4\}$. Tuy nhiên $B \setminus A = \{-3,0,1\}$ và $X$ cần có 4 phần tử thuộc $B$ và $X \cup A = B$, vậy $X = \{-3,0,1, x\}$, với $x \in A \cap B= \{-4, -2, -1, 2, 3, 4\}$. Tuy nhiên $\{-3,0,1, -1\} \cup A = B$, không đúng. Vậy có 7 tập hợp.

Số tiền Lan dùng để mua 10 cây bút là: $10 imes 6000 = 60000$ (đồng).
Số tiền còn lại Lan có thể dùng để mua tập là: $150000 - 60000 = 90000$ (đồng).
Số quyển tập tối đa Lan có thể mua là: $90000 : 8000 = 11.25$.
Vì số quyển tập phải là số nguyên nên Lan có thể mua tối đa 11 quyển tập.

Ta có $B + C = \pi - A$.
Do đó, $P = \sin A \cdot \cos \left( {\pi - A} \right) + \cos A \cdot \sin \left( {\pi - A} \right)$
$= \sin A \cdot \left( { - \cos A} \right) + \cos A \cdot \sin A = -\sin A \cos A + \sin A \cos A = 0$.

Nhưng đáp án này không có trong các lựa chọn. Để ý rằng,
$P = \sin A \cos (B+C) + \cos A \sin (B+C) = \sin(A+B+C) = \sin(\pi) = 0$
Vì $A + B + C = \pi$, nên $P = \sin(\pi) = 0$. Vậy giá trị của $P$ là 0.
Có vẻ như các đáp án bị sai, ta có thể sửa lại các đáp án như sau:
a) $P = \sin A$
b) $P = \sin(\pi - A) = \sin(B+C)$
c) $P = \sin A \cos(B+C) + \cos A \sin(B+C) = \sin(A+B+C) = \sin(\pi) = 0$
d) $P = 1$

Vì $A + B + C = \pi$, nên $B+C = \pi - A$.
$P = \sin A \cos (\pi - A) + \cos A \sin(\pi - A) = \sin A(-\cos A) + \cos A \sin A = 0$. Tuy nhiên, đáp án này không có trong các lựa chọn.
Hoặc, sử dụng công thức cộng: $P = \sin(A + B + C) = \sin(\pi) = 0$
Nếu đề bài hỏi giá trị của $\sin(A+B+C)$, đáp án sẽ là 0.
Nếu đề bài hỏi giá trị của $\sin A$, ta không đủ dữ kiện để tính.
Nếu đề bài hỏi giá trị của $\sin B + \sin C$, ta không đủ dữ kiện để tính.
Tuy nhiên, nếu câu hỏi là tính $\sin(A+B+C)$, thì đáp án là 0.
Nếu câu hỏi là chứng minh $\sin A \cdot \cos(B+C) + \cos A \cdot \sin(B+C) = 0$, thì đẳng thức đúng.

Xét trường hợp khác, nếu biểu thức cần tính là $P = \sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C$ thì cần có thêm điều kiện về tam giác ABC.
Nếu ABC là tam giác vuông thì $P$ có thể tính được.

Kiểm tra lại đề bài:
Ta có $P = \sin A \cos (B+C) + \cos A \sin (B+C) = \sin(A+B+C) = \sin(\pi) = 0$
Vậy đáp án chính xác phải là $P = 0$.