Câu hỏi:

Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Ta có $\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AO} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD})$.
Do đó, $3\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ hay $\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AG} - \overrightarrow{AD}$.
Vì M là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}) = \frac{1}{2}(2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD})$.
Suy ra, $2\overrightarrow{AM} = 2(3\overrightarrow{AG} - \overrightarrow{AD}) + \overrightarrow{AD} = 6\overrightarrow{AG} - \overrightarrow{AD}$.
$\Rightarrow \overrightarrow{AD} = 6\overrightarrow{AG} - 2\overrightarrow{AM}$
Mặt khác, ta có $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MG}$ và $\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}(\overrightarrow{AA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \Leftrightarrow 3\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$
$\Leftrightarrow 3\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ nên $\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AG} - \overrightarrow{AD}$
Mà $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{BM}$ nên $\overrightarrow{AD} = 2( \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AB} ) = 2( \overrightarrow{AM} - 3\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{AD}) \Leftrightarrow -\overrightarrow{AD} = 2 \overrightarrow{AM} - 6 \overrightarrow{AG}$
$\Rightarrow \overrightarrow{AD} = 6\overrightarrow{AG} - 2\overrightarrow{AM}$.
Do G là trọng tâm tam giác ABC nên G thuộc AM và $AG = \frac{2}{3}AM \Rightarrow \overrightarrow{AM} = \frac{3}{2} \overrightarrow{AG}$.
Do đó, $\overrightarrow{AD} = 6\overrightarrow{AG} - 2 \cdot \frac{3}{2} \overrightarrow{AG} = 3 \overrightarrow{AG}$.
Vậy $k=3$.