Câu hỏi:

Gọi T, L, H lần lượt là tập hợp các học sinh giỏi Toán, Lý, Hóa.
Ta có: $|T| = 7$, $|L| = 5$, $|H| = 6$, $|T \cap L| = 3$, $|T \cap H| = 4$, $|L \cap H| = 2$, $|T \cap L \cap H| = 1$.
Số học sinh giỏi ít nhất một môn là: $|T \cup L \cup H| = |T| + |L| + |H| - |T \cap L| - |T \cap H| - |L \cap H| + |T \cap L \cap H| = 7 + 5 + 6 - 3 - 4 - 2 + 1 = 10$.
Số học sinh chỉ giỏi Toán là: $7 - (3 - 1) - (4 - 1) - 1 = 7 - 2 - 3 - 1 = 1$.
Số học sinh chỉ giỏi Lý là: $5 - (3 - 1) - (2 - 1) - 1 = 5 - 2 - 1 - 1 = 1$.
Số học sinh chỉ giỏi Hóa là: $6 - (4 - 1) - (2 - 1) - 1 = 6 - 3 - 1 - 1 = 1$.
Số học sinh giỏi Toán và Lý nhưng không giỏi Hóa là: $3 - 1 = 2$.
Số học sinh giỏi Toán và Hóa nhưng không giỏi Lý là: $4 - 1 = 3$.
Số học sinh giỏi Lý và Hóa nhưng không giỏi Toán là: $2 - 1 = 1$.
Số học sinh giỏi cả 3 môn là: $1$.
Vậy số học sinh giỏi ít nhất một môn là: $1 + 1 + 1 + 2 + 3 + 1 + 1 = 10$.

Vì $A \subset X \subset B$, nên $X$ phải chứa tất cả các phần tử của $A$ (tức là 1, 2, 3) và là một tập con của $B$.
$X$ có thể có thêm các phần tử của $B$ mà không thuộc $A$. Các phần tử này có thể là 4 và/hoặc 5.
Vậy $X$ có các khả năng sau:

• $X = \{1, 2, 3\}$ (loại vì $X$ phải là tập con *thực sự* của B)
• $X = \{1, 2, 3, 4\}$
• $X = \{1, 2, 3, 5\}$
• $X = \{1, 2, 3, 4, 5\}$

Nhưng đề bài yêu cầu $A \subset X \subset B$, tức là $X$ phải chứa $A$, và $X$ phải là tập con của $B$.
Số tập $X$ thỏa mãn điều kiện là số tập con của tập hợp $\{4, 5\}$, trừ tập rỗng (vì $X$ phải chứa $A$).
Số tập con của $\{4, 5\}$ là $2^2 = 4$, đó là: $\{\}, \{4\}, \{5\}, \{4, 5\}$.
Vậy các tập $X$ thỏa mãn là:

• $\{1, 2, 3, 4\}$
• $\{1, 2, 3, 5\}$
• $\{1, 2, 3, 4, 5\}$

Vậy có $2^2 = 4$ tập $X$ thỏa mãn, suy ra có 4 tập thỏa mãn. Ta có các tập X thỏa mãn là: $\left\{ 1;2;3;4 \right\}$, $\left\{ 1;2;3;5 \right\}$, $\left\{ 1;2;3;4;5 \right\}$ Vậy có 3 tập hợp X thỏa mãn. Tuy nhiên, các đáp án đều lớn hơn 3, ta kiểm tra lại. Các tập $X$ thỏa mãn $A \subset X \subset B$ phải chứa $A = \{1, 2, 3\}$ và là tập con của $B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$. Vậy $X$ có dạng $\{1, 2, 3\} \cup Y$, trong đó $Y$ là một tập con của $\{4, 5\}$. Các tập $Y$ có thể là $\{\}, \{4\}, \{5\}, \{4, 5\}$. Do đó các tập $X$ có thể là: $\bullet$ Nếu $Y = \{\}$, thì $X = \{1, 2, 3\}$, nhưng $X$ phải khác $A$. $\bullet$ Nếu $Y = \{4\}$, thì $X = \{1, 2, 3, 4\}$. $\bullet$ Nếu $Y = \{5\}$, thì $X = \{1, 2, 3, 5\}$. $\bullet$ Nếu $Y = \{4, 5\}$, thì $X = \{1, 2, 3, 4, 5\}$. Vậy có 3 tập $X$ thỏa mãn. Tuy nhiên không có đáp án nào là 3. Số tập $X$ thoả mãn là $2^{5-3}=2^2=4$. Các tập đó là $\{1,2,3,4\}$, $\{1,2,3,5\}$, $\{1,2,3,4,5\}$. Số tập $X$ thoả mãn là $2^{5-3} - 1 = 2^2 = 4$. Tuy nhiên, đáp án 4 có lẽ sai. Vậy số tập con $X$ thỏa mãn là $2^{|B| - |A|} = 2^{5-3} = 2^2 = 4$.

Để $A \cap B \ne \varnothing$ thì hai tập hợp A và B phải có phần tử chung.
Điều này xảy ra khi và chỉ khi:

• $m < 3$ (điều kiện để đầu mút trái của B nhỏ hơn đầu mút phải của A)
• $m+5 > -2$ (điều kiện để đầu mút phải của B lớn hơn đầu mút trái của A)

Giải hệ bất phương trình:
$m < 3$ và $m > -7$.
Vậy $-7 < m < 3$.

• Mệnh đề là một câu khẳng định có tính đúng hoặc sai.
• a) "Cố lên, sắp tới rồi!" không phải là mệnh đề vì nó là một câu cảm thán, không có tính đúng sai.
• b) "Số $15$ là số nguyên tố" là một mệnh đề sai.
• c) "Tổng các góc của một tam giác bằng $180^{\circ}$" là một mệnh đề đúng.
• d) "$x$ là số nguyên dương" không phải là mệnh đề vì không biết $x$ là gì, nên không thể xác định tính đúng sai.

Vậy có 2 mệnh đề trong các câu trên.

Ta xét từng đáp án:

• Đáp án A: $\sqrt{23} < 5$ là đúng (vì $23 < 25$). Khi nhân cả hai vế với $-2$ (là một số âm), ta phải đổi chiều bất đẳng thức. Vậy $-2\sqrt{23} > -2.5$ là đúng. Suy ra mệnh đề A đúng.
• Đáp án B: $\pi < 4$ là đúng (vì $\pi \approx 3.14$). Khi bình phương cả hai vế, ta có $\pi^2 < 16$ (vì $\pi^2 \approx 9.86 < 16$). Suy ra mệnh đề B đúng.
• Đáp án C: $-\pi < -2$ tương đương với $\pi > 2$ (nhân cả hai vế với -1 và đổi chiều). Điều này là đúng (vì $\pi \approx 3.14 > 2$). Tuy nhiên, khi bình phương cả hai vế của $-\pi < -2$, ta phải xét $\pi > 2 > 0$. Khi đó, ta có $\pi^2 > 4$. Vì vậy, $-\pi < -2 \Leftrightarrow \pi^2 > 4$. Mệnh đề C sai.
• Đáp án D: $\sqrt{23} < 5$ là đúng (vì $23 < 25$). Khi nhân cả hai vế với $2$ (là một số dương), ta giữ nguyên chiều bất đẳng thức. Vậy $2\sqrt{23} < 2.5$ là đúng. Suy ra mệnh đề D đúng.

Vậy mệnh đề sai là mệnh đề C.