Câu hỏi:

Ta có $\sin \alpha = \frac{1}{3}$ và $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ nên $\cos \alpha < 0$.

Sử dụng công thức $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, ta có:

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

Vì $\cos \alpha < 0$, nên $\cos \alpha = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Vậy đáp án đúng là b).

Kiểm tra các đáp án khác:

a) $\sin \alpha > 0$ và $\cos \alpha < 0$ nên $\sin \alpha \cdot \cos \alpha < 0$. Vậy a) đúng.

c) $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4} \neq \frac{\sqrt{2}}{4}$. Vậy c) sai.

d) $\tan \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{4}$ và $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = -\frac{4}{\sqrt{2}} = -2\sqrt{2}$.

$\frac{{6\sin \alpha + 3\sqrt 2 \cos \alpha }}{{2\sqrt 2 \tan \alpha + \sqrt 2 \cot \alpha }} = \frac{{6\left( {\frac{1}{3}} \right) + 3\sqrt 2 \left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right)}}{{2\sqrt 2 \left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{4}} \right) + \sqrt 2 \left( { - 2\sqrt 2 } \right)}} = \frac{{2 - 4}}{{ - 1 - 4}} = \frac{{ - 2}}{{ - 5}} = \frac{2}{5}$. Vậy d) đúng.

Ta có: \(A = \left\{ { - 4;\, - 2;\, - 1;\,2;\,3;\,4} \right\}\), \(B = \left\{ { - 4;\, - 3;\, - 2;\, - 1;\,0;\,1;\,2;\,3;\,4} \right\}\) và tập hợp \(X\) gồm bốn phần tử.

Suy ra tập hợp \(X\) là: \(\left\{ { - 4;\, - 3;\,0;\,1} \right\}\), \(\left\{ { - 3;\, - 2;\,0;\,1} \right\}\), \(\left\{ { - 3;\, - 1;\,0;\,1} \right\}\), \(\left\{ { - 3;\,0;\,1;\,2} \right\}\), \(\left\{ { - 3;\,0;\,1;\,3} \right\}\), \(\left\{ { - 3;\,0;\,1;\,4} \right\}\).

Gọi x là số quyển tập và y là số cây bút mà bạn Lan mua \(\left( {x,y \in \mathbb{N}} \right)\).

Bất phương trình biểu diễn số tập và bút có thể mua được phụ thuộc vào số tiền mang theo là \(8\,000x + 6\,000y \le 150\,000\).

Nếu bạn Lan đã mua 10 cây bút thì \(8\,000x + 6\,000 \cdot 10 \le 150\,000 \Leftrightarrow x \le 11,25\).

Vì \(x \in \mathbb{N}\) nên số quyển tập tối đa bạn Lan mua được là 11 quyển.

Do \(\hat A + \hat B + \hat C = 180{^ \circ }\) (tổng ba góc trong tam giác) nên ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{cos}}\left( {B + C} \right) =  - {\rm{cos}}A}\\{{\rm{sin}}\left( {B + C} \right) = {\rm{sin}}A}\end{array}} \right.\).

Vậy \(P = {\rm{sin}}A \cdot {\rm{cos}}\left( {B + C} \right) + {\rm{cos}}A \cdot {\rm{sin}}\left( {B + C} \right) = {\rm{sin}}A \cdot \left( { - {\rm{cos}}A} \right) + {\rm{cos}}A \cdot {\rm{sin}}A\)

\( =  - {\rm{sin}}A \cdot {\rm{cos}}A + {\rm{cos}}A \cdot {\rm{sin}}A = 0\).

Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có:

\({\rm{cos}}A = \frac{{A{C^2} + A{B^2} - B{C^2}}}{{2AC \cdot AB}} = \frac{{\sqrt 3 AC \cdot AB}}{{2AC \cdot AB}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Suy ra \(\hat A = 30{^ \circ }\).  

Vậy \({\rm{sin}}\left( {B + C} \right) = {\rm{sin}}150{^ \circ } = 0,5.\)