Câu hỏi:

Xét tam thức bậc hai $f(x) = 2x^2 + 2x + 5$.
Ta có: $a = 2 > 0$ và $\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 4 - 40 = -36 < 0$.
Vì $a > 0$ và $\Delta < 0$ nên $f(x) > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
Vậy, tam thức $f(x)$ luôn nhận giá trị dương với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Ta có $f(x) = -x^2 + 5x - 6$.
Phương trình $-x^2 + 5x - 6 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1 = 2$ và $x_2 = 3$.
Vì hệ số $a = -1 < 0$, nên:

• $f(x) > 0$ khi $2 < x < 3$
• $f(x) < 0$ khi $x < 2$ hoặc $x > 3$

Vậy đáp án đúng là C.

Để $f(x) \leq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, parabol phải hướng xuống và nằm phía dưới trục hoành. Điều này xảy ra khi:

• $a < 0$ (parabol hướng xuống)
• $\Delta \leq 0$ (parabol không cắt hoặc tiếp xúc với trục hoành)

Vậy, điều kiện cần tìm là $\begin{cases} a < 0 \\ \Delta \leq 0 \end{cases}$

Để giải bất phương trình $2x^2 - 7x - 15 \ge 0$, ta thực hiện các bước sau:

• Tìm nghiệm của phương trình $2x^2 - 7x - 15 = 0$.

Ta có $\Delta = (-7)^2 - 4*2*(-15) = 49 + 120 = 169 > 0$.
Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:
$x_1 = \frac{7 + \sqrt{169}}{2*2} = \frac{7 + 13}{4} = \frac{20}{4} = 5$
$x_2 = \frac{7 - \sqrt{169}}{2*2} = \frac{7 - 13}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$
Vì hệ số $a = 2 > 0$, nên parabol hướng lên trên. Do đó, bất phương trình $2x^2 - 7x - 15 \ge 0$ có nghiệm là $x \le -\frac{3}{2}$ hoặc $x \ge 5$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(-\infty;-\frac{3}{2}] \cup [5;+\infty)$.

Ta có $x^2 - 3x + 2 < 0$.
Phân tích thành nhân tử: $(x-1)(x-2) < 0$.
Xét dấu của tam thức bậc hai:

• $x < 1$: $(x-1) < 0$ và $(x-2) < 0$, nên $(x-1)(x-2) > 0$.
• $1 < x < 2$: $(x-1) > 0$ và $(x-2) < 0$, nên $(x-1)(x-2) < 0$.
• $x > 2$: $(x-1) > 0$ và $(x-2) > 0$, nên $(x-1)(x-2) > 0$.

Vậy, bất phương trình có nghiệm là $1 < x < 2$, hay $x \in (1; 2)$.