Câu hỏi:

Để $f(x) \leq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, parabol phải hướng xuống và nằm phía dưới trục hoành. Điều này xảy ra khi:

• $a < 0$ (parabol hướng xuống)
• $\Delta \leq 0$ (parabol không cắt hoặc tiếp xúc với trục hoành)

Vậy, điều kiện cần tìm là $\begin{cases} a < 0 \\ \Delta \leq 0 \end{cases}$

Để giải bất phương trình $2x^2 - 7x - 15 \ge 0$, ta thực hiện các bước sau:

• Tìm nghiệm của phương trình $2x^2 - 7x - 15 = 0$.

Ta có $\Delta = (-7)^2 - 4*2*(-15) = 49 + 120 = 169 > 0$.
Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:
$x_1 = \frac{7 + \sqrt{169}}{2*2} = \frac{7 + 13}{4} = \frac{20}{4} = 5$
$x_2 = \frac{7 - \sqrt{169}}{2*2} = \frac{7 - 13}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$
Vì hệ số $a = 2 > 0$, nên parabol hướng lên trên. Do đó, bất phương trình $2x^2 - 7x - 15 \ge 0$ có nghiệm là $x \le -\frac{3}{2}$ hoặc $x \ge 5$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(-\infty;-\frac{3}{2}] \cup [5;+\infty)$.

Ta có $x^2 - 3x + 2 < 0$.
Phân tích thành nhân tử: $(x-1)(x-2) < 0$.
Xét dấu của tam thức bậc hai:

• $x < 1$: $(x-1) < 0$ và $(x-2) < 0$, nên $(x-1)(x-2) > 0$.
• $1 < x < 2$: $(x-1) > 0$ và $(x-2) < 0$, nên $(x-1)(x-2) < 0$.
• $x > 2$: $(x-1) > 0$ và $(x-2) > 0$, nên $(x-1)(x-2) > 0$.

Vậy, bất phương trình có nghiệm là $1 < x < 2$, hay $x \in (1; 2)$.

Ta có bất phương trình $-x^2 + 5x - 4 < 0$.
Xét phương trình $-x^2 + 5x - 4 = 0$, ta có $a = -1, b = 5, c = -4$.
$Δ = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(-1)(-4) = 25 - 16 = 9 > 0$.
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2(-1)} = \frac{-5 + 3}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2(-1)} = \frac{-5 - 3}{-2} = \frac{-8}{-2} = 4$
Vì $a = -1 < 0$ nên $-x^2 + 5x - 4 < 0$ khi $x < 1$ hoặc $x > 4$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(-\infty; 1) \cup (4; +\infty)$.

Ta giải bất phương trình $x^2 - 8x + 7 \geq 0$ như sau:
$x^2 - 8x + 7 = 0$ có hai nghiệm $x_1 = 1$ và $x_2 = 7$.
Do đó, $x^2 - 8x + 7 \geq 0$ khi $x \leq 1$ hoặc $x \geq 7$.
Vậy nghiệm của bất phương trình là $(-\infty; 1] \cup [7; +\infty)$.
Xét các đáp án:

• A. $(-\infty; 0]$ là tập con của $(-\infty; 1]$, nên mọi phần tử của $(-\infty; 0]$ đều là nghiệm.
• B. $[8; +\infty)$ là tập con của $[7; +\infty)$, nên mọi phần tử của $[8; +\infty)$ đều là nghiệm.
• C. $(-\infty; 1]$ là tập nghiệm của bất phương trình.
• D. $[6; +\infty)$ chứa các giá trị nhỏ hơn 7 không phải là nghiệm. Ví dụ 6 không phải là nghiệm.

Vậy đáp án là D.