Câu hỏi:

Ta giải bất phương trình $x^2 - 8x + 7 \geq 0$ như sau:
$x^2 - 8x + 7 = 0$ có hai nghiệm $x_1 = 1$ và $x_2 = 7$.
Do đó, $x^2 - 8x + 7 \geq 0$ khi $x \leq 1$ hoặc $x \geq 7$.
Vậy nghiệm của bất phương trình là $(-\infty; 1] \cup [7; +\infty)$.
Xét các đáp án:

• A. $(-\infty; 0]$ là tập con của $(-\infty; 1]$, nên mọi phần tử của $(-\infty; 0]$ đều là nghiệm.
• B. $[8; +\infty)$ là tập con của $[7; +\infty)$, nên mọi phần tử của $[8; +\infty)$ đều là nghiệm.
• C. $(-\infty; 1]$ là tập nghiệm của bất phương trình.
• D. $[6; +\infty)$ chứa các giá trị nhỏ hơn 7 không phải là nghiệm. Ví dụ 6 không phải là nghiệm.

Vậy đáp án là D.

Ta có bất phương trình $6x^2 + x - 1 \le 0$. Ta tìm nghiệm của phương trình $6x^2 + x - 1 = 0$. $6x^2 + 3x - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow 3x(2x + 1) - (2x + 1) = 0 \Leftrightarrow (3x - 1)(2x + 1) = 0$. Vậy $x = \frac{1}{3}$ hoặc $x = -\frac{1}{2}$. Xét dấu tam thức bậc hai $f(x) = 6x^2 + x - 1$. Vì $a = 6 > 0$ nên $f(x) \le 0$ khi $x$ nằm giữa hai nghiệm, tức là $x \in \left[-\frac{1}{2}; \frac{1}{3}\right]$.

Để giải bất phương trình $x^2 + x - 12 < 0$, ta thực hiện các bước sau: * Tìm nghiệm của phương trình $x^2 + x - 12 = 0$. * Ta có $\Delta = 1^2 - 4(1)(-12) = 1 + 48 = 49$. Vậy $\sqrt{\Delta} = 7$. * Nghiệm của phương trình là $x_1 = \frac{-1 + 7}{2} = 3$ và $x_2 = \frac{-1 - 7}{2} = -4$. * Vì hệ số $a = 1 > 0$, parabol hướng lên trên. Do đó, $x^2 + x - 12 < 0$ khi $x$ nằm giữa hai nghiệm. * Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là $S = (-4; 3)$.

Điều kiện: $2x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{3}{2}$. Phương trình tương đương: $(\sqrt{2x-3})^2 = (x-3)^2$ $2x - 3 = x^2 - 6x + 9$ $x^2 - 8x + 12 = 0$ $\Delta' = (-4)^2 - 12 = 16 - 12 = 4 > 0$ x1 = 4 + \sqrt{4} = 4 + 2 = 6 (thỏa mãn) x2 = 4 - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2 (thỏa mãn) Vậy $S = \{2; 6\}$. Tuy nhiên, ta cần kiểm tra lại nghiệm vì đây là phương trình chứa căn thức. Với $x=2$ thì $\sqrt{2(2)-3} = \sqrt{1} = 1$ và $2-3 = -1$. Do đó $x=2$ không là nghiệm. Với $x=6$ thì $\sqrt{2(6)-3} = \sqrt{9} = 3$ và $6-3 = 3$. Do đó $x=6$ là nghiệm. Vậy tập nghiệm là $S = \{6\}$.

Đặt $t = \sqrt{2-x}$, với $t \ge 0$. Khi đó phương trình trở thành: $t + \frac{4}{t+3} = 2$ $\Leftrightarrow t(t+3) + 4 = 2(t+3)$ $\Leftrightarrow t^2 + 3t + 4 = 2t + 6$ $\Leftrightarrow t^2 + t - 2 = 0$ $\Leftrightarrow (t-1)(t+2) = 0$ Vì $t \ge 0$ nên $t = 1$. $\Rightarrow \sqrt{2-x} = 1$ $\Leftrightarrow 2-x = 1$ $\Leftrightarrow x = 1$ Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất là $x=1$.