Một lô hàng gồm 7 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên 4 sản phẩm từ lô hàng. X là số sản phẩm tốt lấy được. Phương sai D(X):
Trả lời:
Đáp án đúng: B
Đây là bài toán về biến ngẫu nhiên rời rạc. Ta có tổng cộng 7 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm và 4 sản phẩm tốt. Ta chọn ngẫu nhiên 4 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm tốt lấy được. X có thể nhận các giá trị 1, 2, 3, 4.
Để tính phương sai D(X), ta cần tính E(X) và E(X^2). Bài toán này có thể giải bằng cách sử dụng phân phối siêu bội.
Gọi N là tổng số sản phẩm (N=7), K là số sản phẩm tốt (K=4), n là số sản phẩm được chọn (n=4).
X có phân phối siêu bội với các tham số N, K, n.
E(X) = n*K/N = 4*4/7 = 16/7.
E[X(X-1)] = n(n-1) * K(K-1) / (N(N-1)) = 4*3*4*3 / (7*6) = 72/42 = 12/7
E(X^2) = E[X(X-1)] + E(X) = 12/7 + 16/7 = 28/7 = 4
D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 4 - (16/7)^2 = 4 - 256/49 = (196 - 256)/49 = -60/49. Tuy nhiên, phương sai không thể âm. Có vẻ như có lỗi trong quá trình tính toán. Cách khác:
Tính xác suất để chọn được x sản phẩm tốt (và 4-x phế phẩm):
P(X=x) = (C(4,x) * C(3, 4-x)) / C(7,4), với C(n,k) là tổ hợp chập k của n.
Các giá trị có thể của x là 1, 2, 3, 4.
P(X=1) = (C(4,1) * C(3,3)) / C(7,4) = (4 * 1) / 35 = 4/35
P(X=2) = (C(4,2) * C(3,2)) / C(7,4) = (6 * 3) / 35 = 18/35
P(X=3) = (C(4,3) * C(3,1)) / C(7,4) = (4 * 3) / 35 = 12/35
P(X=4) = (C(4,4) * C(3,0)) / C(7,4) = (1 * 1) / 35 = 1/35
E(X) = 1*4/35 + 2*18/35 + 3*12/35 + 4*1/35 = (4 + 36 + 36 + 4)/35 = 80/35 = 16/7
E(X^2) = 1^2 * 4/35 + 2^2 * 18/35 + 3^2 * 12/35 + 4^2 * 1/35 = (4 + 72 + 108 + 16) / 35 = 200/35 = 40/7
D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 40/7 - (16/7)^2 = 40/7 - 256/49 = (280 - 256)/49 = 24/49
