Có hai kiện hàng, kiện thứ nhất có 8 sản phẩm, trong đó có 3 sản phẩm loại A; kiện thứ hai có 6 sản phẩm, trong đó có 2 sản phẩm loại A. Lần đầu lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm ở kiện thứ nhất bỏ vào kiện thứ hai, sau đó từ kiện thứ hai lấy ra 2 sản phẩm (lấy không hoàn lại). Gọi X là số sản phẩm loại A có trong 2 sản phẩm lấy ra từ kiện thứ hai. Thì kỳ vọng, phương sai của X là:
Trả lời:
Đáp án đúng: A
Bài toán này liên quan đến việc tính kỳ vọng và phương sai của một biến ngẫu nhiên rời rạc trong bối cảnh xác suất có điều kiện. Ta cần xét các trường hợp có thể xảy ra khi lấy sản phẩm từ kiện thứ nhất sang kiện thứ hai, và sau đó tính xác suất của việc lấy được 0, 1, hoặc 2 sản phẩm loại A từ kiện thứ hai.
Gọi A là biến cố lấy được sản phẩm loại A từ kiện thứ nhất.
Gọi X là số sản phẩm loại A lấy được từ kiện thứ hai.
Tính P(A) = 3/8
P(không A) = 5/8
*Trường hợp 1: Lấy được sản phẩm loại A từ kiện thứ nhất bỏ vào kiện thứ hai.
Khi đó, kiện thứ hai có 7 sản phẩm, trong đó có 3 sản phẩm loại A.
P(X=0|A) = (4C2)/(7C2) = 6/21 = 2/7
P(X=1|A) = (3C1 * 4C1)/(7C2) = 12/21 = 4/7
P(X=2|A) = (3C2)/(7C2) = 3/21 = 1/7
*Trường hợp 2: Lấy được sản phẩm không phải loại A từ kiện thứ nhất bỏ vào kiện thứ hai.
Khi đó, kiện thứ hai có 7 sản phẩm, trong đó có 2 sản phẩm loại A.
P(X=0|không A) = (5C2)/(7C2) = 10/21
P(X=1|không A) = (2C1 * 5C1)/(7C2) = 10/21
P(X=2|không A) = (2C2)/(7C2) = 1/21
Tính P(X=0), P(X=1), P(X=2) theo công thức xác suất toàn phần:
P(X=0) = P(X=0|A) * P(A) + P(X=0|không A) * P(không A) = (2/7)*(3/8) + (10/21)*(5/8) = 6/56 + 50/168 = 18/168 + 50/168 = 68/168 = 17/42
P(X=1) = P(X=1|A) * P(A) + P(X=1|không A) * P(không A) = (4/7)*(3/8) + (10/21)*(5/8) = 12/56 + 50/168 = 36/168 + 50/168 = 86/168 = 43/84
P(X=2) = P(X=2|A) * P(A) + P(X=2|không A) * P(không A) = (1/7)*(3/8) + (1/21)*(5/8) = 3/56 + 5/168 = 9/168 + 5/168 = 14/168 = 1/12
Tính E(X) = 0 * P(X=0) + 1 * P(X=1) + 2 * P(X=2) = 0 + 43/84 + 2/12 = 43/84 + 14/84 = 57/84 = 19/28
Tính E(X^2) = 0^2 * P(X=0) + 1^2 * P(X=1) + 2^2 * P(X=2) = 0 + 43/84 + 4/12 = 43/84 + 28/84 = 71/84
Tính Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 71/84 - (19/28)^2 = 71/84 - 361/784 = (71*28 - 361*3)/(84*28) = (1988-1083)/2352 = 905/2352
Vì không có đáp án nào trùng với kết quả tính toán, nên đáp án đúng là "D. Tất cả đều sai".
