Có hai kiện hàng, kiện thứ nhất có 8 sản phẩm, trong đó có 3 sản phẩm loại A; kiện thứ hai có 6 sản phẩm, trong đó có 2 sản phẩm loại A. Lần đầu lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm ở kiện thứ nhất bỏ vào kiện thứ hai, sau đó từ kiện thứ hai lấy ra 2 sản phẩm (lấy không hoàn lại). Gọi X là số sản phẩm loại A có trong 2 sản phẩm lấy ra từ kiện thứ hai. Thì luật phân phối xác suất của X là:

Câu 32:

Có hai kiện hàng, kiện thứ nhất có 8 sản phẩm, trong đó có 3 sản phẩm loại A; kiện thứ hai có 6 sản phẩm, trong đó có 2 sản phẩm loại A. Lần đầu lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm ở kiện thứ nhất bỏ vào kiện thứ hai, sau đó từ kiện thứ hai lấy ra 2 sản phẩm (lấy không hoàn lại). Gọi X là số sản phẩm loại A có trong 2 sản phẩm lấy ra từ kiện thứ hai. Thì kỳ vọng, phương sai của X là:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Bài toán này liên quan đến việc tính kỳ vọng và phương sai của một biến ngẫu nhiên rời rạc trong bối cảnh xác suất có điều kiện. Ta cần xét các trường hợp có thể xảy ra khi lấy sản phẩm từ kiện thứ nhất sang kiện thứ hai, và sau đó tính xác suất của việc lấy được 0, 1, hoặc 2 sản phẩm loại A từ kiện thứ hai.

Gọi A là biến cố lấy được sản phẩm loại A từ kiện thứ nhất.
Gọi X là số sản phẩm loại A lấy được từ kiện thứ hai.

Tính P(A) = 3/8
P(không A) = 5/8

*Trường hợp 1: Lấy được sản phẩm loại A từ kiện thứ nhất bỏ vào kiện thứ hai.
Khi đó, kiện thứ hai có 7 sản phẩm, trong đó có 3 sản phẩm loại A.
P(X=0|A) = (4C2)/(7C2) = 6/21 = 2/7
P(X=1|A) = (3C1 * 4C1)/(7C2) = 12/21 = 4/7
P(X=2|A) = (3C2)/(7C2) = 3/21 = 1/7

*Trường hợp 2: Lấy được sản phẩm không phải loại A từ kiện thứ nhất bỏ vào kiện thứ hai.
Khi đó, kiện thứ hai có 7 sản phẩm, trong đó có 2 sản phẩm loại A.
P(X=0|không A) = (5C2)/(7C2) = 10/21
P(X=1|không A) = (2C1 * 5C1)/(7C2) = 10/21
P(X=2|không A) = (2C2)/(7C2) = 1/21

Tính P(X=0), P(X=1), P(X=2) theo công thức xác suất toàn phần:
P(X=0) = P(X=0|A) * P(A) + P(X=0|không A) * P(không A) = (2/7)*(3/8) + (10/21)*(5/8) = 6/56 + 50/168 = 18/168 + 50/168 = 68/168 = 17/42
P(X=1) = P(X=1|A) * P(A) + P(X=1|không A) * P(không A) = (4/7)*(3/8) + (10/21)*(5/8) = 12/56 + 50/168 = 36/168 + 50/168 = 86/168 = 43/84
P(X=2) = P(X=2|A) * P(A) + P(X=2|không A) * P(không A) = (1/7)*(3/8) + (1/21)*(5/8) = 3/56 + 5/168 = 9/168 + 5/168 = 14/168 = 1/12

Tính E(X) = 0 * P(X=0) + 1 * P(X=1) + 2 * P(X=2) = 0 + 43/84 + 2/12 = 43/84 + 14/84 = 57/84 = 19/28

Tính E(X^2) = 0^2 * P(X=0) + 1^2 * P(X=1) + 2^2 * P(X=2) = 0 + 43/84 + 4/12 = 43/84 + 28/84 = 71/84

Tính Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 71/84 - (19/28)^2 = 71/84 - 361/784 = (71*28 - 361*3)/(84*28) = (1988-1083)/2352 = 905/2352

Vì không có đáp án nào trùng với kết quả tính toán, nên đáp án đúng là "D. Tất cả đều sai".

Câu 33:

Giả sử từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng các phương tiện: ô tô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc máy bay. Mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa, 3 chuyến tàu thủy và 2 chuyến máy bay. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ tỉnh A đến tỉnh B?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng ô tô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc máy bay. Số cách đi bằng mỗi loại phương tiện là số chuyến của phương tiện đó. Do đó, số cách đi từ A đến B bằng ô tô là 10, bằng tàu hỏa là 5, bằng tàu thủy là 3 và bằng máy bay là 2. Tổng số cách đi từ A đến B là tổng số cách đi bằng từng loại phương tiện, tức là 10 + 5 + 3 + 2 = 20.

Câu 34:

Một hộp bi có 5 viên bi đỏ, 3 viên bi vàng và 4 viên bi xanh. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 4 viên bi trong đó số viên bi đỏ lớn hơn số viên bi vàng?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để giải bài toán này, ta cần xét các trường hợp số bi đỏ lớn hơn số bi vàng khi lấy ra 4 viên bi từ hộp.

Tổng số bi trong hộp là 5 (đỏ) + 3 (vàng) + 4 (xanh) = 12 viên.

Trường hợp 1: Số bi đỏ là 4, số bi vàng là 0.
- Số cách chọn 4 bi đỏ từ 5 bi đỏ là C(5,4) = 5 cách.
- Số bi xanh còn lại là 4, số bi vàng còn lại là 3.
- Số cách chọn 0 bi vàng từ 3 bi vàng là C(3,0) = 1 cách.
- Số bi xanh còn lại là 4. Vậy cần chọn 0 bi xanh từ 4 bi xanh. Số cách chọn là C(4,0) = 1 cách.
- Tổng số cách cho trường hợp này là 5 * 1 * 1 = 5 cách.

Trường hợp 2: Số bi đỏ là 3, số bi vàng là 0, 1 hoặc 2.
- Số bi đỏ là 3, số bi vàng là 0: C(5,3) * C(3,0) * C(4,1) = 10 * 1 * 4 = 40 cách.
- Số bi đỏ là 3, số bi vàng là 1: C(5,3) * C(3,1) * C(4,0) = 10 * 3 * 1 = 30 cách.
- Số bi đỏ là 2, số bi vàng là 0 hoặc 1
- Số bi đỏ là 2, số bi vàng là 0 : C(5,2) * C(3,0) * C(4,2) = 10 * 1 * 6 = 60 cách.
- Số bi đỏ là 2, số bi vàng là 1 : C(5,2) * C(3,1) * C(4,1) = 10 * 3 * 4 = 120 cách.
- Số bi đỏ là 1, số bi vàng là 0: C(5,1) * C(3,0) * C(4,3) = 5 * 1 * 4 = 20 cách.
Tổng số cách = 5 + 40 + 30 + 60 + 120 + 20 = 275 cách.

Câu 35:

Tìm hiểu 100 người bị đau cột sống, thấy có 52 người làm công việc văn phòng. Với độ tin cậy 95%, tìm khoảng tin cậy đối xứng theo tỷ lệ (p) người làm công việc văn phòng trong số những người bị đau cột sống?

Lời giải:

Đáp án đúng:

Bài toán yêu cầu tìm khoảng tin cậy đối xứng cho tỷ lệ (p) người làm công việc văn phòng trong số những người bị đau cột sống, với độ tin cậy 95%.

Ta có:
- Kích thước mẫu: n = 100
- Số người làm văn phòng: x = 52
- Tỷ lệ mẫu: p̂ = x/n = 52/100 = 0.52
- Độ tin cậy: 95% => α = 1 - 0.95 = 0.05
- Giá trị tới hạn: z_α/2 = z_0.025 = 1.96 (tra bảng phân phối Z hoặc dùng hàm trong Excel)

Công thức tính khoảng tin cậy đối xứng cho tỷ lệ:
Khoảng tin cậy = p̂ ± z_α/2 * √(p̂(1-p̂)/n)

Thay số vào công thức:
Khoảng tin cậy = 0.52 ± 1.96 * √(0.52(1-0.52)/100)
Khoảng tin cậy = 0.52 ± 1.96 * √(0.52 * 0.48 / 100)
Khoảng tin cậy = 0.52 ± 1.96 * √(0.002496)
Khoảng tin cậy = 0.52 ± 1.96 * 0.04996
Khoảng tin cậy = 0.52 ± 0.0979

Vậy, khoảng tin cậy là (0.52 - 0.0979; 0.52 + 0.0979) = (0.4221; 0.6179).

Câu 36:

Quan sát ngẫu nhiên 400 trẻ sơ sinh, ta thấy có 218 bé trai. Với mức ý nghĩa 5%, có thể khẳng định tỉ lệ sinh con trai và gái có như nhau không?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để kiểm định giả thuyết về tỉ lệ sinh con trai và gái có như nhau, ta thực hiện kiểm định giả thuyết với:
H0: p = 0.5 (tỉ lệ sinh con trai và gái là như nhau)
Ha: p ≠ 0.5 (tỉ lệ sinh con trai và gái là khác nhau)

Tỉ lệ mẫu: p̂ = 218/400 = 0.545

Sai số chuẩn:
SE = sqrt[ (p0(1-p0))/n] = sqrt[(0.5 * 0.5)/400] = 0.025

Giá trị kiểm định:
z = (p̂ - p0) / SE = (0.545 - 0.5) / 0.025 = 1.8

Giá trị p:
p-value = 2 * P(Z > |z|) = 2 * P(Z > 1.8) ≈ 2 * (1 - 0.9641) = 2 * 0.0359 = 0.0718

Mức ý nghĩa α = 0.05

Vì p-value (0.0718) > α (0.05), ta không bác bỏ giả thuyết H0.

Kết luận: Không có đủ bằng chứng để bác bỏ giả thuyết tỉ lệ sinh con trai và gái là như nhau.

Câu 37:

Thăm dò 150 sinh viên thì có 27 sinh viên mong muốn cắm trại qua đêm dịp 26/3. Ước lượng số sinh viên sẽ tham gia cắm trại qua đêm trong dịp này với độ tin cậy 90%, biết rằng số sinh viên đang học tại trường hiện nay là 26000.

Lời giải: