Xác suất để mỗi hành khách chậm tàu là 0,02. Tìm số khách chậm tàu có khả năng xảy ra nhiều nhất trong 855 hành khách.

Gieo 6 lần một đồng xu cân đối đồng chất. Xác suất để đồng xu sấp không quá 3 lần.

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Gọi X là số lần xuất hiện mặt sấp khi gieo đồng xu 6 lần. X tuân theo phân phối nhị thức B(6, 0.5) vì đồng xu cân đối. Ta cần tính P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3).

Công thức xác suất cho phân phối nhị thức là P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k), trong đó n là số lần thử, k là số lần thành công, và p là xác suất thành công.

Ở đây, n = 6, p = 0.5. Vậy:

P(X = 0) = C(6, 0) * (0.5)^0 * (0.5)^6 = 1 * 1 * (0.5)^6 = 1/64

P(X = 1) = C(6, 1) * (0.5)^1 * (0.5)^5 = 6 * (0.5)^6 = 6/64

P(X = 2) = C(6, 2) * (0.5)^2 * (0.5)^4 = 15 * (0.5)^6 = 15/64

P(X = 3) = C(6, 3) * (0.5)^3 * (0.5)^3 = 20 * (0.5)^6 = 20/64

P(X ≤ 3) = (1 + 6 + 15 + 20) / 64 = 42 / 64 = 21/32.

Câu 25:

Xác suất bắn trúng bằng 0,7. Bắn 25 phát. Số lần có khả năng bắn trúng nhất.

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Gọi X là số lần bắn trúng. X tuân theo phân phối nhị thức B(n, p) với n = 25 và p = 0,7.
Số lần bắn trúng có khả năng nhất là mode của phân phối nhị thức.
Mode được tính như sau:
np - q ≤ mode ≤ np + p
Trong đó q = 1 - p = 1 - 0,7 = 0,3
np - q = 25 * 0,7 - 0,3 = 17,5 - 0,3 = 17,2
np + p = 25 * 0,7 + 0,7 = 17,5 + 0,7 = 18,2
Vì mode là số nguyên nên mode = 18.
Vậy số lần bắn trúng có khả năng nhất là 18.

Câu 26:

Xạ thủ bắn vào bia 3 phát. Xác suất bắn trúng mỗi phát là 0,3. X là số lần bắn trúng. Mốt Mod[X] bằng:

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Đây là bài toán về phân phối nhị thức. X là số lần bắn trúng, tuân theo phân phối nhị thức B(n, p) với n = 3 (số lần bắn) và p = 0.3 (xác suất bắn trúng mỗi lần). Ta cần tìm mốt (Mod[X]), tức là giá trị k mà P(X=k) lớn nhất.

P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k), với C(n, k) là tổ hợp chập k của n.

Tính P(X=0), P(X=1), P(X=2), P(X=3):

P(X=0) = C(3, 0) * (0.3)^0 * (0.7)^3 = 1 * 1 * 0.343 = 0.343
P(X=1) = C(3, 1) * (0.3)^1 * (0.7)^2 = 3 * 0.3 * 0.49 = 0.441
P(X=2) = C(3, 2) * (0.3)^2 * (0.7)^1 = 3 * 0.09 * 0.7 = 0.189
P(X=3) = C(3, 3) * (0.3)^3 * (0.7)^0 = 1 * 0.027 * 1 = 0.027

Vì P(X=1) = 0.441 là lớn nhất, nên Mod[X] = 1.

Câu 27:

X có luật phân phối:

X	1	2	3	4
P(X)	0,1	0,4	0,2	0,3

Tính phương sai D(2X+1).

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tính phương sai D(2X+1), ta cần sử dụng các công thức sau:

1. E(X) = Σ [x * P(x)]
2. E(X^2) = Σ [x^2 * P(x)]
3. Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
4. Var(aX + b) = a^2 * Var(X)

Áp dụng vào bài toán:

Tính E(X):
E(X) = (1 * 0,1) + (2 * 0,4) + (3 * 0,2) + (4 * 0,3) = 0,1 + 0,8 + 0,6 + 1,2 = 2,7

Tính E(X^2):
E(X^2) = (1^2 * 0,1) + (2^2 * 0,4) + (3^2 * 0,2) + (4^2 * 0,3) = 0,1 + 1,6 + 1,8 + 4,8 = 8,3

Tính Var(X):
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 8,3 - (2,7)^2 = 8,3 - 7,29 = 1,01

Tính Var(2X+1):
Var(2X+1) = 2^2 * Var(X) = 4 * 1,01 = 4,04

Vậy, phương sai D(2X+1) = 4,04.

Câu 28:

Ba xạ thủ cùng bắn một con thú (mỗi người bắn một viên đạn). Xác suất bắn trúng của từng người tương ứng là 0,6; 0,7; 0,8. Biết rằng nếu trúng một phát đạn thì xác suất để con thú bị tiêu diệt là 0,5; trúng hai phát đạn thì xác suất để con thú bị tiêu diệt là 0,8; còn nếu trúng ba phát đạn thì chắc chắn con thú bị tiêu diệt. Tính xác suất để con thú bị tiêu diệt do trúng hai phát đạn.

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Gọi A, B, C lần lượt là các biến cố xạ thủ thứ nhất, thứ hai, thứ ba bắn trúng. Gọi X là biến cố con thú bị tiêu diệt do trúng hai phát đạn.
Ta có P(A) = 0.6, P(B) = 0.7, P(C) = 0.8.
P(X) = P(A) * P(B) * (1 - P(C)) * 0.8 + P(A) * (1 - P(B)) * P(C) * 0.8 + (1 - P(A)) * P(B) * P(C) * 0.8
= 0.6 * 0.7 * 0.2 * 0.8 + 0.6 * 0.3 * 0.8 * 0.8 + 0.4 * 0.7 * 0.8 * 0.8
= 0.0672 + 0.1152 + 0.1792 = 0.3616

Câu 29:

Xác suất để mỗi hành khách chậm tàu là 0,02. Tìm số khách chậm tàu có khả năng xảy ra nhiều nhất trong 855 hành khách.

Lời giải: