Xác định tích đề các của 2 tập A = {9,x,y} và B = {9,a}:

Để giải bài toán này, ta cần tìm số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau được tạo từ 5 chữ số {1, 3, 5, 7, 9}.

Đây là một bài toán về hoán vị (chỉnh hợp không lặp). Ta cần chọn 3 chữ số từ 5 chữ số đã cho và sắp xếp chúng theo một thứ tự nhất định để tạo thành một số có 3 chữ số.

Số cách chọn chữ số đầu tiên là 5 (có 5 lựa chọn: 1, 3, 5, 7, 9).
Sau khi đã chọn chữ số đầu tiên, số cách chọn chữ số thứ hai là 4 (vì các chữ số phải khác nhau).
Sau khi đã chọn chữ số đầu tiên và thứ hai, số cách chọn chữ số thứ ba là 3 (vì các chữ số phải khác nhau).

Vậy, tổng số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau được tạo thành là: 5 * 4 * 3 = 60.

Do đó, đáp án đúng là 60.

Quan hệ R được định nghĩa là aRb khi và chỉ khi a + b là một số lẻ (2k+1). Điều này có nghĩa là một trong hai số a hoặc b phải là số chẵn và số còn lại phải là số lẻ. Ta xét từng cặp số trong tập A = {1, 2, 3, 4, 5}:

- 1 + 2 = 3 (lẻ)
- 1 + 4 = 5 (lẻ)
- 2 + 1 = 3 (lẻ)
- 2 + 3 = 5 (lẻ)
- 2 + 5 = 7 (lẻ)
- 3 + 2 = 5 (lẻ)
- 3 + 4 = 7 (lẻ)
- 4 + 1 = 5 (lẻ)
- 4 + 3 = 7 (lẻ)
- 4 + 5 = 9 (lẻ)
- 5 + 2 = 7 (lẻ)
- 5 + 4 = 9 (lẻ)

Vậy, quan hệ R bao gồm các cặp: (1,2), (2,1), (1,4), (4,1), (2,3), (3,2), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3), (4,5), (5,4).
Do đó, đáp án đúng là phương án 4.

Đối với 10 câu hỏi đầu tiên, mỗi câu có 4 lựa chọn, vậy số cách chọn cho 10 câu đầu là 4¹⁰. Đối với 10 câu hỏi sau, mỗi câu có 5 lựa chọn (4 đáp án và 1 lựa chọn bỏ trống), vậy số cách chọn cho 10 câu sau là 5¹⁰. Vậy tổng số cách lựa chọn là 4¹⁰ * 5¹⁰ = 20¹⁰.

Một quan hệ tương đương trên một tập hợp phải thỏa mãn ba tính chất: phản xạ, đối xứng và bắc cầu.

* Phản xạ: Với mọi phần tử x trong tập hợp, (x, x) phải thuộc quan hệ.
* Đối xứng: Nếu (x, y) thuộc quan hệ, thì (y, x) cũng phải thuộc quan hệ.
* Bắc cầu: Nếu (x, y) và (y, z) thuộc quan hệ, thì (x, z) cũng phải thuộc quan hệ.

Xét từng phương án:

1. `{(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (a, c), (a, d)}`: Không đối xứng vì (a, b) thuộc quan hệ nhưng (b, a) không thuộc.
2. `{(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (b, a)}`: Thỏa mãn cả ba tính chất:
* Phản xạ: (a, a), (b, b), (c, c), (d, d) đều thuộc quan hệ.
* Đối xứng: (a, b) và (b, a) đều thuộc quan hệ.
* Bắc cầu: Vì chỉ có các cặp (a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (b, a) nên tính bắc cầu được thỏa mãn.
3. `{(a, a), (a, c), (c, a), (c, c), (c, d), (d, c), (d, d)}`: Thỏa mãn cả ba tính chất:
* Phản xạ: (a, a), (c, c), (d, d) đều thuộc quan hệ.
* Đối xứng: (a, c) và (c, a), (c, d) và (d, c) đều thuộc quan hệ.
* Bắc cầu: (a, c) và (c, d) suy ra (a, d) phải thuộc quan hệ. Tuy nhiên, (a, d) không thuộc quan hệ này.
4. `{(a, a), (b, b), (c, c), (d, d) , (c, d), (d, c), (d, a), (b, d)}`: Không bắc cầu. Vì (d, a) và (a, a) thuộc quan hệ, nhưng quan hệ phải chứa (d, a), và vì (b, d) và (d, c) thuộc quan hệ, nên (b, c) phải thuộc quan hệ, tuy nhiên (b, c) không thuộc.

Vậy, phương án 2 là quan hệ tương đương.

Phân hoạch của một tập S là một tập hợp các tập con khác rỗng của S sao cho các tập con này đôi một không giao nhau và hợp của chúng bằng S.

* Phương án 1: \({A_1} \cap {A_2} = \emptyset \). Vì A₁, A₂ là các tập trong một phân hoạch nên chúng phải rời nhau, giao của chúng phải là tập rỗng. Do đó, phương án này đúng.
* Phương án 2: \({A_1} \cup {A_2} = S\). Vì phân hoạch gồm 3 tập A₁, A₂, A₃ nên hợp của A₁ và A₂ không nhất thiết bằng S (mà hợp của A₁, A₂ và A₃ mới bằng S). Do đó, phương án này sai.
* Phương án 3: \({A_2} - {A_3} = {A_2}\). Vì A₂ và A₃ là các tập trong một phân hoạch nên chúng phải rời nhau, giao của chúng phải là tập rỗng. Do đó, A₂ - A₃ = A₂. Phương án này đúng.
* Phương án 4: \({A_1} \cup {A_2} \cup {A_3} = S\). Vì A₁, A₂, A₃ là một phân hoạch của S nên hợp của chúng phải bằng S. Do đó, phương án này đúng.

Vậy, phương án sai là phương án 2.