Tính \[ I = \int_{0}^{+\infty} \frac{x}{1 + x^{4}} \, dx. \]

Để tìm cực trị tự do của hàm số $f(x,y) = e^{4y - x^{2} - y^{2}}$, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm riêng cấp một:
* Đạo hàm riêng theo $x$: $\frac{\partial f}{\partial x} = f'(x)e^{g(x,y)}$ với $f'(x) = e^{4y - x^{2} - y^{2}}$ và $g(x,y) = 4y - x^2 - y^2$.
Ta có $\frac{\partial}{\partial x}(e^{4y - x^{2} - y^{2}}) = e^{4y - x^{2} - y^{2}} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(4y - x^{2} - y^{2}) = e^{4y - x^{2} - y^{2}} \cdot (-2x) = -2xe^{4y - x^{2} - y^{2}}$.
* Đạo hàm riêng theo $y$: $\frac{\partial f}{\partial y} = e^{4y - x^{2} - y^{2}} \cdot \frac{\partial}{\partial y}(4y - x^{2} - y^{2}) = e^{4y - x^{2} - y^{2}} \cdot (4 - 2y) = (4 - 2y)e^{4y - x^{2} - y^{2}}$.

2. Tìm điểm dừng (critical points):
Đặt các đạo hàm riêng bằng 0:
* $-2xe^{4y - x^{2} - y^{2}} = 0 \implies -2x = 0 \implies x = 0$ (vì $e^{...}$ luôn dương).
* $(4 - 2y)e^{4y - x^{2} - y^{2}} = 0 \implies 4 - 2y = 0 \implies 2y = 4 \implies y = 2$.
Vậy, điểm dừng duy nhất là $(0, 2)$.

3. Tìm đạo hàm riêng cấp hai:
* $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(-2xe^{4y - x^{2} - y^{2}})$. Áp dụng quy tắc nhân: $(-2)e^{4y - x^{2} - y^{2}} + (-2x) \cdot (-2xe^{4y - x^{2} - y^{2}}) = (-2 - 2x(-2x))e^{4y - x^{2} - y^{2}} = (-2 + 4x^2)e^{4y - x^{2} - y^{2}}$.
* $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}((4 - 2y)e^{4y - x^{2} - y^{2}})$. Áp dụng quy tắc nhân: $(-2)e^{4y - x^{2} - y^{2}} + (4 - 2y) \cdot (4 - 2y)e^{4y - x^{2} - y^{2}} = (-2 + (4 - 2y)^2)e^{4y - x^{2} - y^{2}}$.
* $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(-2xe^{4y - x^{2} - y^{2}}) = -2x \cdot (4 - 2y)e^{4y - x^{2} - y^{2}}$.

4. Tính các đạo hàm riêng cấp hai tại điểm dừng (0, 2):
* $f_{xx}(0,2) = (-2 + 4(0)^2)e^{4(2) - 0^2 - 2^2} = -2e^{8 - 4} = -2e^4$.
* $f_{yy}(0,2) = (-2 + (4 - 2(2))^2)e^{4(2) - 0^2 - 2^2} = (-2 + (4 - 4)^2)e^{4} = -2e^4$.
* $f_{xy}(0,2) = -2(0) \cdot (4 - 2(2))e^{4(2) - 0^2 - 2^2} = 0$.

5. Tính định thức Hessian (D) và xác định loại cực trị:
$D = f_{xx}(0,2) \cdot f_{yy}(0,2) - [f_{xy}(0,2)]^2$
$D = (-2e^4) \cdot (-2e^4) - (0)^2 = 4e^8$.

Vì $D = 4e^8 > 0$ và $f_{xx}(0,2) = -2e^4 < 0$, hàm số đạt cực đại địa phương tại điểm $(0, 2)$. Giá trị cực đại là $f(0,2) = e^{4(2) - 0^2 - 2^2} = e^{8 - 4} = e^4$.

Câu hỏi yêu cầu giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số hằng. Để giải phương trình này, trước tiên ta cần tìm phương trình đặc trưng. Phương trình vi phân đã cho là y'' - 2y' + y = 0. Phương trình đặc trưng tương ứng là r^2 - 2r + 1 = 0. Ta giải phương trình bậc hai này để tìm nghiệm r. Phương trình này có thể được viết lại dưới dạng (r - 1)^2 = 0, do đó ta có nghiệm kép r1 = r2 = 1. Khi phương trình đặc trưng có nghiệm kép r = α, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân có dạng y(x) = (C1 + C2x)e^(αx). Trong trường hợp này, α = 1, nên nghiệm tổng quát là y(x) = (C1 + C2x)e^x. Tiếp theo, ta cần sử dụng các điều kiện ban đầu để tìm các hằng số C1 và C2. Điều kiện ban đầu thứ nhất là y(0) = 1. Thay x = 0 và y(0) = 1 vào nghiệm tổng quát, ta được 1 = (C1 + C2 * 0)e^0, suy ra C1 = 1. Điều kiện ban đầu thứ hai là y'(0) = 2. Trước tiên, ta cần tìm đạo hàm của y(x). Sử dụng quy tắc đạo hàm của tích, ta có y'(x) = C2e^x + (C1 + C2x)e^x. Thay x = 0 và y'(0) = 2 vào biểu thức đạo hàm, ta được 2 = C2e^0 + (C1 + C2 * 0)e^0, suy ra 2 = C2 + C1. Vì ta đã tìm được C1 = 1, nên ta có 2 = C2 + 1, suy ra C2 = 1. Cuối cùng, thay C1 = 1 và C2 = 1 vào nghiệm tổng quát, ta thu được nghiệm riêng của phương trình vi phân là y(x) = (1 + x)e^x. Do đó, đáp án đúng là (1 + x)e^x.

Câu hỏi yêu cầu giải phương trình vi phân tuyến tính cấp một dạng y' + P(x)y = Q(x).

Đầu tiên, xác định các hàm P(x) và Q(x) trong phương trình đã cho: y' - (2x +1)y = e^{x^2}.
Ở đây, P(x) = -(2x + 1) và Q(x) = e^{x^2}.

Bước tiếp theo là tìm thừa số tích phân, ký hiệu là μ(x). Công thức tính thừa số tích phân là μ(x) = e^{∫ P(x) dx}.

Tính tích phân của P(x):
∫ P(x) dx = ∫ -(2x + 1) dx = -(x^2 + x).

Do đó, thừa số tích phân là:
μ(x) = e^{-(x^2 + x)}.

Nhân cả hai vế của phương trình vi phân ban đầu với thừa số tích phân μ(x):

e^{-(x^2 + x)}y' - e^{-(x^2 + x)}(2x + 1)y = e^{-(x^2 + x)}e^{x^2}

Vế trái của phương trình giờ đây là đạo hàm của tích giữa thừa số tích phân và y:

d/dx [e^{-(x^2 + x)}y] = e^{-x^2 - x}e^{x^2}

Đơn giản hóa vế phải:
e^{-x^2 - x}e^{x^2} = e^{-x}.

Vậy, phương trình trở thành:

d/dx [e^{-(x^2 + x)}y] = e^{-x}.

Để tìm y, ta tích phân cả hai vế theo x:
∫ d/dx [e^{-(x^2 + x)}y] dx = ∫ e^{-x} dx

e^{-(x^2 + x)}y = -e^{-x} + C

Cuối cùng, giải tìm y bằng cách nhân cả hai vế với e^{x^2 + x}:

y = e^{x^2 + x}(-e^{-x} + C)

y = -e^{x^2 + x}e^{-x} + Ce^{x^2 + x}

y = -e^{x^2} + Ce^{x^2 + x}.

Đây là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đã cho.

Câu hỏi yêu cầu tính giới hạn của hàm số khi x tiến về 0. Cụ thể là giới hạn của biểu thức $\frac{\ln(1+x) + \ln(1-x)}{x^{2}}$.

Để giải quyết bài toán này, chúng ta có thể sử dụng quy tắc L'Hôpital hoặc khai triển Taylor.

Cách 1: Sử dụng quy tắc L'Hôpital
Khi $x \to 0$, tử số $\ln(1+x) + \ln(1-x) \to \ln(1) + \ln(1) = 0+0=0$ và mẫu số $x^2 \to 0$. Đây là dạng vô định $\frac{0}{0}$, nên ta có thể áp dụng quy tắc L'Hôpital.

Đạo hàm của tử số là: $(\ln(1+x) + \ln(1-x))' = \frac{1}{1+x} + \frac{-1}{1-x} = \frac{1-x - (1+x)}{(1+x)(1-x)} = \frac{-2x}{1-x^2}$.
Đạo hàm của mẫu số là: $(x^2)' = 2x$.

Giới hạn mới trở thành: $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{-2x}{1-x^2}}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-2x}{2x(1-x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{-1}{1-x^2}$.

Thay $x=0$ vào biểu thức mới, ta được: $\frac{-1}{1-0^2} = -1$.

Cách 2: Sử dụng khai triển Taylor
Chúng ta biết khai triển Taylor của $\ln(1+u)$ quanh $u=0$ là $u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - ...$

Áp dụng cho $\ln(1+x)$: $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ...$

Áp dụng cho $\ln(1-x)$ (thay $u$ bằng $-x$): $\ln(1-x) = (-x) - \frac{(-x)^2}{2} + \frac{(-x)^3}{3} - ... = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - ...$

Khi đó, tử số là: $\ln(1+x) + \ln(1-x) = (x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ...) + (-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - ...)$.
Grupo các số hạng tương đồng: $(x-x) + (-\frac{x^2}{2} - \frac{x^2}{2}) + (\frac{x^3}{3} - \frac{x^3}{3}) - ... = 0 - x^2 + 0 - ... = -x^2 + O(x^4)$.

Vậy, biểu thức dưới dấu giới hạn là: $\frac{-x^2 + O(x^4)}{x^2} = -1 + O(x^2)$.

Khi $x \to 0$, giới hạn của $-1 + O(x^2)$ là $-1$.

Cả hai phương pháp đều cho kết quả là -1.

Để hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 0, điều kiện cần và đủ là giới hạn của hàm số khi x tiến tới 0 phải bằng giá trị của hàm số tại điểm đó. Cụ thể, ta cần có $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$.

Trước hết, ta xác định giá trị của hàm số tại điểm x = 0: $f(0) = a$.

Tiếp theo, ta tính giới hạn của hàm số khi x tiến tới 0: $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - e^{x}}{x}$.

Đây là dạng vô định $\dfrac{0}{0}$, ta có thể sử dụng quy tắc L'Hôpital hoặc nhận dạng nó là đạo hàm của hàm số $g(x) = e^x$ tại điểm x=0.

Sử dụng quy tắc L'Hôpital: Lấy đạo hàm của tử số và mẫu số:
$\lim_{x \to 0} \dfrac{(1 - e^{x})'}{(x)'} = \lim_{x \to 0} \dfrac{-e^{x}}{1} = -e^0 = -1$.

Hoặc nhận dạng đạo hàm: Đặt $g(x) = 1 - e^x$. Khi đó $g'(x) = -e^x$. Ta có $g(0) = 1 - e^0 = 1 - 1 = 0$. Hàm số $f(x) = \dfrac{g(x) - g(0)}{x - 0}$ với $x \neq 0$. Vậy $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - e^{x}}{x} = g'(0) = -e^0 = -1$.

Để hàm số liên tục tại x = 0, ta cần $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$, tức là $-1 = a$.

Vậy, giá trị của a để hàm số liên tục tại điểm x = 0 là -1.