Giải phương trình vi phân: y'' - 2y' + y = 0 với điều kiện y(0) = 1 và y'(0) = 2.

Câu hỏi yêu cầu giải phương trình vi phân tuyến tính cấp một dạng y' + P(x)y = Q(x).

Đầu tiên, xác định các hàm P(x) và Q(x) trong phương trình đã cho: y' - (2x +1)y = e^{x^2}.
Ở đây, P(x) = -(2x + 1) và Q(x) = e^{x^2}.

Bước tiếp theo là tìm thừa số tích phân, ký hiệu là μ(x). Công thức tính thừa số tích phân là μ(x) = e^{∫ P(x) dx}.

Tính tích phân của P(x):
∫ P(x) dx = ∫ -(2x + 1) dx = -(x^2 + x).

Do đó, thừa số tích phân là:
μ(x) = e^{-(x^2 + x)}.

Nhân cả hai vế của phương trình vi phân ban đầu với thừa số tích phân μ(x):

e^{-(x^2 + x)}y' - e^{-(x^2 + x)}(2x + 1)y = e^{-(x^2 + x)}e^{x^2}

Vế trái của phương trình giờ đây là đạo hàm của tích giữa thừa số tích phân và y:

d/dx [e^{-(x^2 + x)}y] = e^{-x^2 - x}e^{x^2}

Đơn giản hóa vế phải:
e^{-x^2 - x}e^{x^2} = e^{-x}.

Vậy, phương trình trở thành:

d/dx [e^{-(x^2 + x)}y] = e^{-x}.

Để tìm y, ta tích phân cả hai vế theo x:
∫ d/dx [e^{-(x^2 + x)}y] dx = ∫ e^{-x} dx

e^{-(x^2 + x)}y = -e^{-x} + C

Cuối cùng, giải tìm y bằng cách nhân cả hai vế với e^{x^2 + x}:

y = e^{x^2 + x}(-e^{-x} + C)

y = -e^{x^2 + x}e^{-x} + Ce^{x^2 + x}

y = -e^{x^2} + Ce^{x^2 + x}.

Đây là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đã cho.

Để tính giới hạn \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x) + \ln(1-x)}{x^{2}} \), chúng ta cần phân tích dạng của giới hạn khi \(x \to 0\).

Khi \(x \to 0\):
* Tử số: \( \ln(1+x) + \ln(1-x) \to \ln(1+0) + \ln(1-0) = \ln(1) + \ln(1) = 0 + 0 = 0 \).
* Mẫu số: \( x^2 \to 0^2 = 0 \).

Giới hạn có dạng vô định \( \frac{0}{0} \), do đó chúng ta có thể sử dụng quy tắc L'Hopital hoặc khai triển Taylor.

Phương pháp 1: Sử dụng quy tắc L'Hopital
Áp dụng quy tắc L'Hopital bằng cách lấy đạo hàm của tử số và mẫu số:

Lần 1:
* Đạo hàm tử số: \( (\ln(1+x) + \ln(1-x))' = \frac{1}{1+x} + \frac{-1}{1-x} = \frac{1}{1+x} - \frac{1}{1-x} \).
* Đạo hàm mẫu số: \( (x^2)' = 2x \).

Giới hạn trở thành: \( \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x} - \frac{1}{1-x}}{2x} \).
Kiểm tra lại dạng vô định: Khi \(x \to 0\), tử số \( \frac{1}{1+0} - \frac{1}{1-0} = 1 - 1 = 0 \), mẫu số \( 2x = 0 \). Vẫn là dạng \( \frac{0}{0} \).

Lần 2:
* Đạo hàm tử số: \( (\frac{1}{1+x} - \frac{1}{1-x})' = (-(1+x)^{-2}) - (-(1-x)^{-2} \cdot (-1)) = -\frac{1}{(1+x)^2} - \frac{1}{(1-x)^2} \).
* Đạo hàm mẫu số: \( (2x)' = 2 \).

Giới hạn trở thành: \( \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{(1+x)^2} - \frac{1}{(1-x)^2}}{2} \).
Thay \(x = 0\) vào biểu thức:
\( = \frac{-\frac{1}{(1+0)^2} - \frac{1}{(1-0)^2}}{2} = \frac{-1 - 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \).

Phương pháp 2: Sử dụng khai triển Taylor
Chúng ta biết khai triển Taylor của \( \ln(1+u) \) quanh \(u=0\) là:
\( \ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - O(u^4) \).

Áp dụng cho \( \ln(1+x) \) và \( \ln(1-x) \):
* \( \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + O(x^3) \).
* \( \ln(1-x) = (-x) - \frac{(-x)^2}{2} + O((-x)^3) = -x - \frac{x^2}{2} + O(x^3) \).

Cộng hai khai triển này lại:
\( \ln(1+x) + \ln(1-x) = (x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)) + (-x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)) \)
\( = (x - x) + (-\frac{x^2}{2} - \frac{x^2}{2}) + O(x^3) \)
\( = -x^2 + O(x^3) \).

Thay vào giới hạn ban đầu:
\( \lim_{x \to 0} \frac{-x^2 + O(x^3)}{x^2} \)
\( = \lim_{x \to 0} \frac{x^2(-1 + O(x))}{x^2} \)
\( = \lim_{x \to 0} (-1 + O(x)) \)
\( = -1 \).

Cả hai phương pháp đều cho kết quả là \(-1\).

Để hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 0, điều kiện cần và đủ là giới hạn của hàm số khi x tiến tới 0 phải bằng giá trị của hàm số tại điểm đó. Cụ thể, ta cần có $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$.

Trước hết, ta xác định giá trị của hàm số tại điểm x = 0: $f(0) = a$.

Tiếp theo, ta tính giới hạn của hàm số khi x tiến tới 0: $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - e^{x}}{x}$.

Đây là dạng vô định $\dfrac{0}{0}$, ta có thể sử dụng quy tắc L'Hôpital hoặc nhận dạng nó là đạo hàm của hàm số $g(x) = e^x$ tại điểm x=0.

Sử dụng quy tắc L'Hôpital: Lấy đạo hàm của tử số và mẫu số:
$\lim_{x \to 0} \dfrac{(1 - e^{x})'}{(x)'} = \lim_{x \to 0} \dfrac{-e^{x}}{1} = -e^0 = -1$.

Hoặc nhận dạng đạo hàm: Đặt $g(x) = 1 - e^x$. Khi đó $g'(x) = -e^x$. Ta có $g(0) = 1 - e^0 = 1 - 1 = 0$. Hàm số $f(x) = \dfrac{g(x) - g(0)}{x - 0}$ với $x \neq 0$. Vậy $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - e^{x}}{x} = g'(0) = -e^0 = -1$.

Để hàm số liên tục tại x = 0, ta cần $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$, tức là $-1 = a$.

Vậy, giá trị của a để hàm số liên tục tại điểm x = 0 là -1.

Để viết khai triển Maclaurin cho hàm f(x) = x + \sqrt{x+1} đến bậc x^2 với phần dư Peano, chúng ta cần tìm các đạo hàm của hàm f(x) tại x = 0. Khai triển Maclaurin của một hàm f(x) có dạng: f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + o(x^2) khi x \to 0.

Bước 1: Tìm các giá trị của hàm và các đạo hàm tại x = 0.
Ta có hàm f(x) = x + \sqrt{x+1}.

Đạo hàm bậc 0: f(0) = 0 + \sqrt{0+1} = 1.

Đạo hàm bậc 1: f'(x) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x+1}}.
Tại x = 0: f'(0) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{0+1}} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.

Đạo hàm bậc 2: f''(x) = \frac{d}{dx} \left( 1 + \frac{1}{2}(x+1)^{-1/2} \right) = 0 + \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} \right) (x+1)^{-3/2} = -\frac{1}{4}(x+1)^{-3/2} = -\frac{1}{4\sqrt{(x+1)^3}}.
Tại x = 0: f''(0) = -\frac{1}{4\sqrt{(0+1)^3}} = -\frac{1}{4}.

Bước 2: Thay các giá trị đã tìm được vào công thức khai triển Maclaurin.
Khai triển Maclaurin đến bậc x^2 với phần dư Peano có dạng:
f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + o(x^2).
Thay số vào, ta được:
f(x) = 1 + \frac{3}{2}x + \frac{-1/4}{2}x^2 + o(x^2).
f(x) = 1 + \frac{3}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + o(x^2).

Vậy khai triển Maclaurin của hàm f(x) = x + \sqrt{x+1} đến x^2 với phần dư Peano là 1 + \frac{3}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + o(x^2).

Câu hỏi yêu cầu tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x - 2}$ trên đoạn [2;4].

Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tìm tập xác định của hàm số:
Hàm số có hai căn thức, do đó ta cần:
- $4 - x \ge 0 \implies x \le 4$
- $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$
Kết hợp hai điều kiện, ta có tập xác định của hàm số là $D = [2; 4]$.
Đoạn [2;4] chính là đoạn được cho trong đề bài, nên hàm số xác định trên toàn bộ đoạn xét.

2. Tính đạo hàm của hàm số:
Ta có $f'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{4 - x} + \sqrt{x - 2})$.
Sử dụng quy tắc đạo hàm của $\sqrt{u}$ là $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$:
- Đạo hàm của $\sqrt{4 - x}$ là $\frac{-1}{2\sqrt{4 - x}}$.
- Đạo hàm của $\sqrt{x - 2}$ là $\frac{1}{2\sqrt{x - 2}}$.
Do đó, $f'(x) = \frac{-1}{2\sqrt{4 - x}} + \frac{1}{2\sqrt{x - 2}}$.

3. Tìm các điểm tới hạn (nghiệm của đạo hàm và các điểm mà đạo hàm không xác định):
- Xét $f'(x) = 0$:
$\frac{-1}{2\sqrt{4 - x}} + \frac{1}{2\sqrt{x - 2}} = 0$
$\frac{1}{2\sqrt{x - 2}} = \frac{1}{2\sqrt{4 - x}}$
$\sqrt{x - 2} = \sqrt{4 - x}$
Bình phương hai vế: $x - 2 = 4 - x$
$2x = 6$
$x = 3$. Điểm này thuộc đoạn [2;4].
- Xét các điểm mà đạo hàm không xác định:
Đạo hàm $f'(x)$ không xác định khi các mẫu số bằng 0, tức là $\sqrt{4 - x} = 0$ hoặc $\sqrt{x - 2} = 0$.
- $\sqrt{4 - x} = 0 \implies 4 - x = 0 \implies x = 4$. Đây là một trong hai đầu mút của đoạn xét.
- $\sqrt{x - 2} = 0 \implies x - 2 = 0 \implies x = 2$. Đây là đầu mút còn lại của đoạn xét.

4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại hai đầu mút của đoạn:
- Tại $x = 2$: $f(2) = \sqrt{4 - 2} + \sqrt{2 - 2} = \sqrt{2} + 0 = \sqrt{2}$.
- Tại $x = 3$: $f(3) = \sqrt{4 - 3} + \sqrt{3 - 2} = \sqrt{1} + \sqrt{1} = 1 + 1 = 2$.
- Tại $x = 4$: $f(4) = \sqrt{4 - 4} + \sqrt{4 - 2} = 0 + \sqrt{2} = \sqrt{2}$.

5. So sánh các giá trị để tìm GTLN và GTNN:
Ta có các giá trị là $\sqrt{2}$, $2$, $\sqrt{2}$.
Vì $2 = \sqrt{4}$ và $\sqrt{4} > \sqrt{2}$, nên:
- Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [2;4] là 2 (đạt tại $x=3$).
- Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [2;4] là $\sqrt{2}$ (đạt tại $x=2$ và $x=4$).

Do đó, đáp án đúng là giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng $\sqrt{2}$.