JavaScript is required

Giải phương trình vi phân: y'' - 2y' + y = 0 với điều kiện y(0) = 1 và y'(0) = 2.

Trả lời:

Đáp án đúng:


Câu hỏi yêu cầu giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số hằng. Để giải phương trình này, trước tiên ta cần tìm phương trình đặc trưng. Phương trình vi phân đã cho là y'' - 2y' + y = 0. Phương trình đặc trưng tương ứng là r^2 - 2r + 1 = 0. Ta giải phương trình bậc hai này để tìm nghiệm r. Phương trình này có thể được viết lại dưới dạng (r - 1)^2 = 0, do đó ta có nghiệm kép r1 = r2 = 1. Khi phương trình đặc trưng có nghiệm kép r = α, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân có dạng y(x) = (C1 + C2x)e^(αx). Trong trường hợp này, α = 1, nên nghiệm tổng quát là y(x) = (C1 + C2x)e^x. Tiếp theo, ta cần sử dụng các điều kiện ban đầu để tìm các hằng số C1 và C2. Điều kiện ban đầu thứ nhất là y(0) = 1. Thay x = 0 và y(0) = 1 vào nghiệm tổng quát, ta được 1 = (C1 + C2 * 0)e^0, suy ra C1 = 1. Điều kiện ban đầu thứ hai là y'(0) = 2. Trước tiên, ta cần tìm đạo hàm của y(x). Sử dụng quy tắc đạo hàm của tích, ta có y'(x) = C2e^x + (C1 + C2x)e^x. Thay x = 0 và y'(0) = 2 vào biểu thức đạo hàm, ta được 2 = C2e^0 + (C1 + C2 * 0)e^0, suy ra 2 = C2 + C1. Vì ta đã tìm được C1 = 1, nên ta có 2 = C2 + 1, suy ra C2 = 1. Cuối cùng, thay C1 = 1 và C2 = 1 vào nghiệm tổng quát, ta thu được nghiệm riêng của phương trình vi phân là y(x) = (1 + x)e^x. Do đó, đáp án đúng là (1 + x)e^x.

This document is an end-of-term exam for Advanced Mathematics 2 from the Banking University Ho Chi Minh City, Department of Quantitative Economics. It contains 8 problems covering topics such as limits, continuity, Maclaurin series, finding maximum and minimum values of functions, definite integrals, finding critical points of multivariable functions, and solving differential equations. The exam duration is 75 minutes.


8 câu hỏi 75 phút

Câu hỏi liên quan