Trả lời:
Đáp án đúng:
Để tính giới hạn \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x) + \ln(1-x)}{x^{2}} \), chúng ta cần phân tích dạng của giới hạn khi \(x \to 0\).
Khi \(x \to 0\):
* Tử số: \( \ln(1+x) + \ln(1-x) \to \ln(1+0) + \ln(1-0) = \ln(1) + \ln(1) = 0 + 0 = 0 \).
* Mẫu số: \( x^2 \to 0^2 = 0 \).
Giới hạn có dạng vô định \( \frac{0}{0} \), do đó chúng ta có thể sử dụng quy tắc L'Hopital hoặc khai triển Taylor.
**Phương pháp 1: Sử dụng quy tắc L'Hopital**
Áp dụng quy tắc L'Hopital bằng cách lấy đạo hàm của tử số và mẫu số:
Lần 1:
* Đạo hàm tử số: \( (\ln(1+x) + \ln(1-x))' = \frac{1}{1+x} + \frac{-1}{1-x} = \frac{1}{1+x} - \frac{1}{1-x} \).
* Đạo hàm mẫu số: \( (x^2)' = 2x \).
Giới hạn trở thành: \( \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x} - \frac{1}{1-x}}{2x} \).
Kiểm tra lại dạng vô định: Khi \(x \to 0\), tử số \( \frac{1}{1+0} - \frac{1}{1-0} = 1 - 1 = 0 \), mẫu số \( 2x = 0 \). Vẫn là dạng \( \frac{0}{0} \).
Lần 2:
* Đạo hàm tử số: \( (\frac{1}{1+x} - \frac{1}{1-x})' = (-(1+x)^{-2}) - (-(1-x)^{-2} \cdot (-1)) = -\frac{1}{(1+x)^2} - \frac{1}{(1-x)^2} \).
* Đạo hàm mẫu số: \( (2x)' = 2 \).
Giới hạn trở thành: \( \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{(1+x)^2} - \frac{1}{(1-x)^2}}{2} \).
Thay \(x = 0\) vào biểu thức:
\( = \frac{-\frac{1}{(1+0)^2} - \frac{1}{(1-0)^2}}{2} = \frac{-1 - 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \).
**Phương pháp 2: Sử dụng khai triển Taylor**
Chúng ta biết khai triển Taylor của \( \ln(1+u) \) quanh \(u=0\) là:
\( \ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - O(u^4) \).
Áp dụng cho \( \ln(1+x) \) và \( \ln(1-x) \):
* \( \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + O(x^3) \).
* \( \ln(1-x) = (-x) - \frac{(-x)^2}{2} + O((-x)^3) = -x - \frac{x^2}{2} + O(x^3) \).
Cộng hai khai triển này lại:
\( \ln(1+x) + \ln(1-x) = (x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)) + (-x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)) \)
\( = (x - x) + (-\frac{x^2}{2} - \frac{x^2}{2}) + O(x^3) \)
\( = -x^2 + O(x^3) \).
Thay vào giới hạn ban đầu:
\( \lim_{x \to 0} \frac{-x^2 + O(x^3)}{x^2} \)
\( = \lim_{x \to 0} \frac{x^2(-1 + O(x))}{x^2} \)
\( = \lim_{x \to 0} (-1 + O(x)) \)
\( = -1 \).
Cả hai phương pháp đều cho kết quả là \(-1\).
This document is an end-of-term exam for Advanced Mathematics 2 from the Banking University Ho Chi Minh City, Department of Quantitative Economics. It contains 8 problems covering topics such as limits, continuity, Maclaurin series, finding maximum and minimum values of functions, definite integrals, finding critical points of multivariable functions, and solving differential equations. The exam duration is 75 minutes.
8 câu hỏi 75 phút





