Trả lời:
Đáp án đúng:
Câu hỏi yêu cầu tính giới hạn của hàm số khi x tiến về 0. Cụ thể là giới hạn của biểu thức $\frac{\ln(1+x) + \ln(1-x)}{x^{2}}$.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta có thể sử dụng quy tắc L'Hôpital hoặc khai triển Taylor.
**Cách 1: Sử dụng quy tắc L'Hôpital**
Khi $x \to 0$, tử số $\ln(1+x) + \ln(1-x) \to \ln(1) + \ln(1) = 0+0=0$ và mẫu số $x^2 \to 0$. Đây là dạng vô định $\frac{0}{0}$, nên ta có thể áp dụng quy tắc L'Hôpital.
Đạo hàm của tử số là: $(\ln(1+x) + \ln(1-x))' = \frac{1}{1+x} + \frac{-1}{1-x} = \frac{1-x - (1+x)}{(1+x)(1-x)} = \frac{-2x}{1-x^2}$.
Đạo hàm của mẫu số là: $(x^2)' = 2x$.
Giới hạn mới trở thành: $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{-2x}{1-x^2}}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-2x}{2x(1-x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{-1}{1-x^2}$.
Thay $x=0$ vào biểu thức mới, ta được: $\frac{-1}{1-0^2} = -1$.
**Cách 2: Sử dụng khai triển Taylor**
Chúng ta biết khai triển Taylor của $\ln(1+u)$ quanh $u=0$ là $u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - ...$
Áp dụng cho $\ln(1+x)$: $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ...$
Áp dụng cho $\ln(1-x)$ (thay $u$ bằng $-x$): $\ln(1-x) = (-x) - \frac{(-x)^2}{2} + \frac{(-x)^3}{3} - ... = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - ...$
Khi đó, tử số là: $\ln(1+x) + \ln(1-x) = (x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ...) + (-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - ...)$.
Grupo các số hạng tương đồng: $(x-x) + (-\frac{x^2}{2} - \frac{x^2}{2}) + (\frac{x^3}{3} - \frac{x^3}{3}) - ... = 0 - x^2 + 0 - ... = -x^2 + O(x^4)$.
Vậy, biểu thức dưới dấu giới hạn là: $\frac{-x^2 + O(x^4)}{x^2} = -1 + O(x^2)$.
Khi $x \to 0$, giới hạn của $-1 + O(x^2)$ là $-1$.
Cả hai phương pháp đều cho kết quả là -1.
This document is an end-of-term exam for Advanced Mathematics 2 from the Banking University Ho Chi Minh City, Department of Quantitative Economics. It contains 8 problems covering topics such as limits, continuity, Maclaurin series, finding maximum and minimum values of functions, definite integrals, finding critical points of multivariable functions, and solving differential equations. The exam duration is 75 minutes.
8 câu hỏi 75 phút