Trả lời:
Đáp án đúng:
Để viết khai triển Maclaurin cho hàm f(x) = x + \sqrt{x+1} đến bậc x^2 với phần dư Peano, chúng ta cần tìm các đạo hàm của hàm f(x) tại x = 0. Khai triển Maclaurin của một hàm f(x) có dạng: f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + o(x^2) khi x \to 0.
Bước 1: Tìm các giá trị của hàm và các đạo hàm tại x = 0.
Ta có hàm f(x) = x + \sqrt{x+1}.
Đạo hàm bậc 0: f(0) = 0 + \sqrt{0+1} = 1.
Đạo hàm bậc 1: f'(x) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x+1}}.
Tại x = 0: f'(0) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{0+1}} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.
Đạo hàm bậc 2: f''(x) = \frac{d}{dx} \left( 1 + \frac{1}{2}(x+1)^{-1/2} \right) = 0 + \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} \right) (x+1)^{-3/2} = -\frac{1}{4}(x+1)^{-3/2} = -\frac{1}{4\sqrt{(x+1)^3}}.
Tại x = 0: f''(0) = -\frac{1}{4\sqrt{(0+1)^3}} = -\frac{1}{4}.
Bước 2: Thay các giá trị đã tìm được vào công thức khai triển Maclaurin.
Khai triển Maclaurin đến bậc x^2 với phần dư Peano có dạng:
f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + o(x^2).
Thay số vào, ta được:
f(x) = 1 + \frac{3}{2}x + \frac{-1/4}{2}x^2 + o(x^2).
f(x) = 1 + \frac{3}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + o(x^2).
Vậy khai triển Maclaurin của hàm f(x) = x + \sqrt{x+1} đến x^2 với phần dư Peano là 1 + \frac{3}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + o(x^2).
This document is an end-of-term exam for Advanced Mathematics 2 from the Banking University Ho Chi Minh City, Department of Quantitative Economics. It contains 8 problems covering topics such as limits, continuity, Maclaurin series, finding maximum and minimum values of functions, definite integrals, finding critical points of multivariable functions, and solving differential equations. The exam duration is 75 minutes.
8 câu hỏi 75 phút