Giải phương trình vi phân: y' - (2x +1)y = e^x2

Để tính giới hạn \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x) + \ln(1-x)}{x^{2}} \), chúng ta cần phân tích dạng của giới hạn khi \(x \to 0\).

Khi \(x \to 0\):
* Tử số: \( \ln(1+x) + \ln(1-x) \to \ln(1+0) + \ln(1-0) = \ln(1) + \ln(1) = 0 + 0 = 0 \).
* Mẫu số: \( x^2 \to 0^2 = 0 \).

Giới hạn có dạng vô định \( \frac{0}{0} \), do đó chúng ta có thể sử dụng quy tắc L'Hopital hoặc khai triển Taylor.

Phương pháp 1: Sử dụng quy tắc L'Hopital
Áp dụng quy tắc L'Hopital bằng cách lấy đạo hàm của tử số và mẫu số:

Lần 1:
* Đạo hàm tử số: \( (\ln(1+x) + \ln(1-x))' = \frac{1}{1+x} + \frac{-1}{1-x} = \frac{1}{1+x} - \frac{1}{1-x} \).
* Đạo hàm mẫu số: \( (x^2)' = 2x \).

Giới hạn trở thành: \( \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x} - \frac{1}{1-x}}{2x} \).
Kiểm tra lại dạng vô định: Khi \(x \to 0\), tử số \( \frac{1}{1+0} - \frac{1}{1-0} = 1 - 1 = 0 \), mẫu số \( 2x = 0 \). Vẫn là dạng \( \frac{0}{0} \).

Lần 2:
* Đạo hàm tử số: \( (\frac{1}{1+x} - \frac{1}{1-x})' = (-(1+x)^{-2}) - (-(1-x)^{-2} \cdot (-1)) = -\frac{1}{(1+x)^2} - \frac{1}{(1-x)^2} \).
* Đạo hàm mẫu số: \( (2x)' = 2 \).

Giới hạn trở thành: \( \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{(1+x)^2} - \frac{1}{(1-x)^2}}{2} \).
Thay \(x = 0\) vào biểu thức:
\( = \frac{-\frac{1}{(1+0)^2} - \frac{1}{(1-0)^2}}{2} = \frac{-1 - 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \).

Phương pháp 2: Sử dụng khai triển Taylor
Chúng ta biết khai triển Taylor của \( \ln(1+u) \) quanh \(u=0\) là:
\( \ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - O(u^4) \).

Áp dụng cho \( \ln(1+x) \) và \( \ln(1-x) \):
* \( \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + O(x^3) \).
* \( \ln(1-x) = (-x) - \frac{(-x)^2}{2} + O((-x)^3) = -x - \frac{x^2}{2} + O(x^3) \).

Cộng hai khai triển này lại:
\( \ln(1+x) + \ln(1-x) = (x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)) + (-x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)) \)
\( = (x - x) + (-\frac{x^2}{2} - \frac{x^2}{2}) + O(x^3) \)
\( = -x^2 + O(x^3) \).

Thay vào giới hạn ban đầu:
\( \lim_{x \to 0} \frac{-x^2 + O(x^3)}{x^2} \)
\( = \lim_{x \to 0} \frac{x^2(-1 + O(x))}{x^2} \)
\( = \lim_{x \to 0} (-1 + O(x)) \)
\( = -1 \).

Cả hai phương pháp đều cho kết quả là \(-1\).

Để hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 0, điều kiện cần và đủ là giới hạn của hàm số khi x tiến tới 0 phải bằng giá trị của hàm số tại điểm đó. Cụ thể, ta cần có $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$.

Trước hết, ta xác định giá trị của hàm số tại điểm x = 0: $f(0) = a$.

Tiếp theo, ta tính giới hạn của hàm số khi x tiến tới 0: $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - e^{x}}{x}$.

Đây là dạng vô định $\dfrac{0}{0}$, ta có thể sử dụng quy tắc L'Hôpital hoặc nhận dạng nó là đạo hàm của hàm số $g(x) = e^x$ tại điểm x=0.

Sử dụng quy tắc L'Hôpital: Lấy đạo hàm của tử số và mẫu số:
$\lim_{x \to 0} \dfrac{(1 - e^{x})'}{(x)'} = \lim_{x \to 0} \dfrac{-e^{x}}{1} = -e^0 = -1$.

Hoặc nhận dạng đạo hàm: Đặt $g(x) = 1 - e^x$. Khi đó $g'(x) = -e^x$. Ta có $g(0) = 1 - e^0 = 1 - 1 = 0$. Hàm số $f(x) = \dfrac{g(x) - g(0)}{x - 0}$ với $x \neq 0$. Vậy $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - e^{x}}{x} = g'(0) = -e^0 = -1$.

Để hàm số liên tục tại x = 0, ta cần $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$, tức là $-1 = a$.

Vậy, giá trị của a để hàm số liên tục tại điểm x = 0 là -1.

Để viết khai triển Maclaurin cho hàm f(x) = x + \sqrt{x+1} đến bậc x^2 với phần dư Peano, chúng ta cần tìm các đạo hàm của hàm f(x) tại x = 0. Khai triển Maclaurin của một hàm f(x) có dạng: f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + o(x^2) khi x \to 0.

Bước 1: Tìm các giá trị của hàm và các đạo hàm tại x = 0.
Ta có hàm f(x) = x + \sqrt{x+1}.

Đạo hàm bậc 0: f(0) = 0 + \sqrt{0+1} = 1.

Đạo hàm bậc 1: f'(x) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x+1}}.
Tại x = 0: f'(0) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{0+1}} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.

Đạo hàm bậc 2: f''(x) = \frac{d}{dx} \left( 1 + \frac{1}{2}(x+1)^{-1/2} \right) = 0 + \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} \right) (x+1)^{-3/2} = -\frac{1}{4}(x+1)^{-3/2} = -\frac{1}{4\sqrt{(x+1)^3}}.
Tại x = 0: f''(0) = -\frac{1}{4\sqrt{(0+1)^3}} = -\frac{1}{4}.

Bước 2: Thay các giá trị đã tìm được vào công thức khai triển Maclaurin.
Khai triển Maclaurin đến bậc x^2 với phần dư Peano có dạng:
f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + o(x^2).
Thay số vào, ta được:
f(x) = 1 + \frac{3}{2}x + \frac{-1/4}{2}x^2 + o(x^2).
f(x) = 1 + \frac{3}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + o(x^2).

Vậy khai triển Maclaurin của hàm f(x) = x + \sqrt{x+1} đến x^2 với phần dư Peano là 1 + \frac{3}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + o(x^2).

Câu hỏi yêu cầu tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x - 2}$ trên đoạn [2;4].

Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tìm tập xác định của hàm số:
Hàm số có hai căn thức, do đó ta cần:
- $4 - x \ge 0 \implies x \le 4$
- $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$
Kết hợp hai điều kiện, ta có tập xác định của hàm số là $D = [2; 4]$.
Đoạn [2;4] chính là đoạn được cho trong đề bài, nên hàm số xác định trên toàn bộ đoạn xét.

2. Tính đạo hàm của hàm số:
Ta có $f'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{4 - x} + \sqrt{x - 2})$.
Sử dụng quy tắc đạo hàm của $\sqrt{u}$ là $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$:
- Đạo hàm của $\sqrt{4 - x}$ là $\frac{-1}{2\sqrt{4 - x}}$.
- Đạo hàm của $\sqrt{x - 2}$ là $\frac{1}{2\sqrt{x - 2}}$.
Do đó, $f'(x) = \frac{-1}{2\sqrt{4 - x}} + \frac{1}{2\sqrt{x - 2}}$.

3. Tìm các điểm tới hạn (nghiệm của đạo hàm và các điểm mà đạo hàm không xác định):
- Xét $f'(x) = 0$:
$\frac{-1}{2\sqrt{4 - x}} + \frac{1}{2\sqrt{x - 2}} = 0$
$\frac{1}{2\sqrt{x - 2}} = \frac{1}{2\sqrt{4 - x}}$
$\sqrt{x - 2} = \sqrt{4 - x}$
Bình phương hai vế: $x - 2 = 4 - x$
$2x = 6$
$x = 3$. Điểm này thuộc đoạn [2;4].
- Xét các điểm mà đạo hàm không xác định:
Đạo hàm $f'(x)$ không xác định khi các mẫu số bằng 0, tức là $\sqrt{4 - x} = 0$ hoặc $\sqrt{x - 2} = 0$.
- $\sqrt{4 - x} = 0 \implies 4 - x = 0 \implies x = 4$. Đây là một trong hai đầu mút của đoạn xét.
- $\sqrt{x - 2} = 0 \implies x - 2 = 0 \implies x = 2$. Đây là đầu mút còn lại của đoạn xét.

4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại hai đầu mút của đoạn:
- Tại $x = 2$: $f(2) = \sqrt{4 - 2} + \sqrt{2 - 2} = \sqrt{2} + 0 = \sqrt{2}$.
- Tại $x = 3$: $f(3) = \sqrt{4 - 3} + \sqrt{3 - 2} = \sqrt{1} + \sqrt{1} = 1 + 1 = 2$.
- Tại $x = 4$: $f(4) = \sqrt{4 - 4} + \sqrt{4 - 2} = 0 + \sqrt{2} = \sqrt{2}$.

5. So sánh các giá trị để tìm GTLN và GTNN:
Ta có các giá trị là $\sqrt{2}$, $2$, $\sqrt{2}$.
Vì $2 = \sqrt{4}$ và $\sqrt{4} > \sqrt{2}$, nên:
- Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [2;4] là 2 (đạt tại $x=3$).
- Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [2;4] là $\sqrt{2}$ (đạt tại $x=2$ và $x=4$).

Do đó, đáp án đúng là giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng $\sqrt{2}$.

Câu hỏi yêu cầu tính tích phân suy rộng từ 0 đến vô cùng của hàm số f(x) = x / (1 + x^4). Đây là một bài toán tính tích phân xác định, cụ thể là tích phân suy rộng. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Đặt ẩn phụ: Nhận thấy mẫu số có dạng 1 + x^4, ta có thể đặt t = x^2. Khi đó, dt = 2x dx, hay x dx = dt/2.
Đổi cận:
Khi x = 0, thì t = 0^2 = 0.
Khi x -> +∞, thì t -> +∞.

Hàm số trở thành: \(\frac{x}{1+x^4} \, dx = \frac{1}{1+(x^2)^2} \, x \, dx = \frac{1}{1+t^2} \, \frac{dt}{2}

2. Tính tích phân với biến mới: Thay vào tích phân ban đầu, ta có:
\( I = \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+t^2} \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+t^2} \, dt \)

3. Tìm nguyên hàm: Nguyên hàm của hàm \(\frac{1}{1+t^2}\) là \(\arctan(t)\).

4. Áp dụng công thức tích phân xác định:
\( I = \frac{1}{2} \left[ \arctan(t) \right]_{0}^{+\infty} \)
\( I = \frac{1}{2} \left( \lim_{t \to +\infty} \arctan(t) - \arctan(0) \right) \)

5. Tính giới hạn:
\( \lim_{t \to +\infty} \arctan(t) = \frac{\pi}{2} \)
\( \arctan(0) = 0 \)

6. Kết quả cuối cùng:
\( I = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{\pi}{4} \)

Vậy, giá trị của tích phân là \(\frac{\pi}{4}\).