JavaScript is required

Giải phương trình vi phân: y' - (2x +1)y = ex2

Trả lời:

Đáp án đúng:


Câu hỏi yêu cầu giải phương trình vi phân tuyến tính cấp một dạng y' + P(x)y = Q(x). Đầu tiên, xác định các hàm P(x) và Q(x) trong phương trình đã cho: y' - (2x +1)y = e^{x^2}. Ở đây, P(x) = -(2x + 1) và Q(x) = e^{x^2}. Bước tiếp theo là tìm thừa số tích phân, ký hiệu là μ(x). Công thức tính thừa số tích phân là μ(x) = e^{∫ P(x) dx}. Tính tích phân của P(x): ∫ P(x) dx = ∫ -(2x + 1) dx = -(x^2 + x). Do đó, thừa số tích phân là: μ(x) = e^{-(x^2 + x)}. Nhân cả hai vế của phương trình vi phân ban đầu với thừa số tích phân μ(x): e^{-(x^2 + x)}y' - e^{-(x^2 + x)}(2x + 1)y = e^{-(x^2 + x)}e^{x^2} Vế trái của phương trình giờ đây là đạo hàm của tích giữa thừa số tích phân và y: d/dx [e^{-(x^2 + x)}y] = e^{-x^2 - x}e^{x^2} Đơn giản hóa vế phải: e^{-x^2 - x}e^{x^2} = e^{-x}. Vậy, phương trình trở thành: d/dx [e^{-(x^2 + x)}y] = e^{-x}. Để tìm y, ta tích phân cả hai vế theo x: ∫ d/dx [e^{-(x^2 + x)}y] dx = ∫ e^{-x} dx e^{-(x^2 + x)}y = -e^{-x} + C Cuối cùng, giải tìm y bằng cách nhân cả hai vế với e^{x^2 + x}: y = e^{x^2 + x}(-e^{-x} + C) y = -e^{x^2 + x}e^{-x} + Ce^{x^2 + x} y = -e^{x^2} + Ce^{x^2 + x}. Đây là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đã cho.

This document is an end-of-term exam for Advanced Mathematics 2 from the Banking University Ho Chi Minh City, Department of Quantitative Economics. It contains 8 problems covering topics such as limits, continuity, Maclaurin series, finding maximum and minimum values of functions, definite integrals, finding critical points of multivariable functions, and solving differential equations. The exam duration is 75 minutes.


8 câu hỏi 75 phút

Câu hỏi liên quan