JavaScript is required

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \[ f(x) = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x - 2}. \] trên đoạn [2;4].

Trả lời:

Đáp án đúng:


Câu hỏi yêu cầu tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x - 2}$ trên đoạn [2;4]. Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau: 1. **Tìm tập xác định của hàm số:** Hàm số có hai căn thức, do đó ta cần: - $4 - x \ge 0 \implies x \le 4$ - $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$ Kết hợp hai điều kiện, ta có tập xác định của hàm số là $D = [2; 4]$. Đoạn [2;4] chính là đoạn được cho trong đề bài, nên hàm số xác định trên toàn bộ đoạn xét. 2. **Tính đạo hàm của hàm số:** Ta có $f'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{4 - x} + \sqrt{x - 2})$. Sử dụng quy tắc đạo hàm của $\sqrt{u}$ là $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$: - Đạo hàm của $\sqrt{4 - x}$ là $\frac{-1}{2\sqrt{4 - x}}$. - Đạo hàm của $\sqrt{x - 2}$ là $\frac{1}{2\sqrt{x - 2}}$. Do đó, $f'(x) = \frac{-1}{2\sqrt{4 - x}} + \frac{1}{2\sqrt{x - 2}}$. 3. **Tìm các điểm tới hạn (nghiệm của đạo hàm và các điểm mà đạo hàm không xác định):** - **Xét $f'(x) = 0$:** $\frac{-1}{2\sqrt{4 - x}} + \frac{1}{2\sqrt{x - 2}} = 0$ $\frac{1}{2\sqrt{x - 2}} = \frac{1}{2\sqrt{4 - x}}$ $\sqrt{x - 2} = \sqrt{4 - x}$ Bình phương hai vế: $x - 2 = 4 - x$ $2x = 6$ $x = 3$. Điểm này thuộc đoạn [2;4]. - **Xét các điểm mà đạo hàm không xác định:** Đạo hàm $f'(x)$ không xác định khi các mẫu số bằng 0, tức là $\sqrt{4 - x} = 0$ hoặc $\sqrt{x - 2} = 0$. - $\sqrt{4 - x} = 0 \implies 4 - x = 0 \implies x = 4$. Đây là một trong hai đầu mút của đoạn xét. - $\sqrt{x - 2} = 0 \implies x - 2 = 0 \implies x = 2$. Đây là đầu mút còn lại của đoạn xét. 4. **Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại hai đầu mút của đoạn:** - Tại $x = 2$: $f(2) = \sqrt{4 - 2} + \sqrt{2 - 2} = \sqrt{2} + 0 = \sqrt{2}$. - Tại $x = 3$: $f(3) = \sqrt{4 - 3} + \sqrt{3 - 2} = \sqrt{1} + \sqrt{1} = 1 + 1 = 2$. - Tại $x = 4$: $f(4) = \sqrt{4 - 4} + \sqrt{4 - 2} = 0 + \sqrt{2} = \sqrt{2}$. 5. **So sánh các giá trị để tìm GTLN và GTNN:** Ta có các giá trị là $\sqrt{2}$, $2$, $\sqrt{2}$. Vì $2 = \sqrt{4}$ và $\sqrt{4} > \sqrt{2}$, nên: - Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [2;4] là 2 (đạt tại $x=3$). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [2;4] là $\sqrt{2}$ (đạt tại $x=2$ và $x=4$). Do đó, đáp án đúng là giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng $\sqrt{2}$.

Đề thi kết thúc học phần Toán cao cấp 2 có đáp án chi tiết

This document is an end-of-term exam for Advanced Mathematics 2 from the Banking University Ho Chi Minh City, Department of Quantitative Economics. It contains 8 problems covering topics such as limits, continuity, Maclaurin series, finding maximum and minimum values of functions, definite integrals, finding critical points of multivariable functions, and solving differential equations. The exam duration is 75 minutes.

8 câu hỏi 75 phút
Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 5:

Tính \[ I = \int_{0}^{+\infty} \frac{x}{1 + x^{4}} \, dx. \]

Lời giải:
Câu hỏi yêu cầu tính tích phân suy rộng từ 0 đến vô cùng của hàm số f(x) = x / (1 + x^4). Đây là một bài toán tính tích phân xác định, cụ thể là tích phân suy rộng. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Đặt ẩn phụ: Nhận thấy mẫu số có dạng 1 + x^4, ta có thể đặt t = x^2. Khi đó, dt = 2x dx, hay x dx = dt/2.
Đổi cận:
Khi x = 0, thì t = 0^2 = 0.
Khi x -> +∞, thì t -> +∞.

Hàm số trở thành: \(\frac{x}{1+x^4} \, dx = \frac{1}{1+(x^2)^2} \, x \, dx = \frac{1}{1+t^2} \, \frac{dt}{2}

2. Tính tích phân với biến mới: Thay vào tích phân ban đầu, ta có:
\( I = \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+t^2} \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+t^2} \, dt \)

3. Tìm nguyên hàm: Nguyên hàm của hàm \(\frac{1}{1+t^2}\) là \(\arctan(t)\).

4. Áp dụng công thức tích phân xác định:
\( I = \frac{1}{2} \left[ \arctan(t) \right]_{0}^{+\infty} \)
\( I = \frac{1}{2} \left( \lim_{t \to +\infty} \arctan(t) - \arctan(0) \right) \)

5. Tính giới hạn:
\( \lim_{t \to +\infty} \arctan(t) = \frac{\pi}{2} \)
\( \arctan(0) = 0 \)

6. Kết quả cuối cùng:
\( I = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{\pi}{4} \)

Vậy, giá trị của tích phân là \(\frac{\pi}{4}\).
Câu 6:

Tìm cực trị tự do của hàm số \[ f(x,y) = e^{4y - x^{2} - y^{2}}. \]

Lời giải:
Để tìm cực trị tự do của hàm số $f(x,y) = e^{4y - x^{2} - y^{2}}$, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm riêng cấp một:
* Đạo hàm riêng theo $x$: $\frac{\partial f}{\partial x} = f'(x)e^{g(x,y)}$ với $f'(x) = e^{4y - x^{2} - y^{2}}$ và $g(x,y) = 4y - x^2 - y^2$.
Ta có $\frac{\partial}{\partial x}(e^{4y - x^{2} - y^{2}}) = e^{4y - x^{2} - y^{2}} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(4y - x^{2} - y^{2}) = e^{4y - x^{2} - y^{2}} \cdot (-2x) = -2xe^{4y - x^{2} - y^{2}}$.
* Đạo hàm riêng theo $y$: $\frac{\partial f}{\partial y} = e^{4y - x^{2} - y^{2}} \cdot \frac{\partial}{\partial y}(4y - x^{2} - y^{2}) = e^{4y - x^{2} - y^{2}} \cdot (4 - 2y) = (4 - 2y)e^{4y - x^{2} - y^{2}}$.

2. Tìm điểm dừng (critical points):
Đặt các đạo hàm riêng bằng 0:
* $-2xe^{4y - x^{2} - y^{2}} = 0 \implies -2x = 0 \implies x = 0$ (vì $e^{...}$ luôn dương).
* $(4 - 2y)e^{4y - x^{2} - y^{2}} = 0 \implies 4 - 2y = 0 \implies 2y = 4 \implies y = 2$.
Vậy, điểm dừng duy nhất là $(0, 2)$.

3. Tìm đạo hàm riêng cấp hai:
* $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(-2xe^{4y - x^{2} - y^{2}})$. Áp dụng quy tắc nhân: $(-2)e^{4y - x^{2} - y^{2}} + (-2x) \cdot (-2xe^{4y - x^{2} - y^{2}}) = (-2 - 2x(-2x))e^{4y - x^{2} - y^{2}} = (-2 + 4x^2)e^{4y - x^{2} - y^{2}}$.
* $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}((4 - 2y)e^{4y - x^{2} - y^{2}})$. Áp dụng quy tắc nhân: $(-2)e^{4y - x^{2} - y^{2}} + (4 - 2y) \cdot (4 - 2y)e^{4y - x^{2} - y^{2}} = (-2 + (4 - 2y)^2)e^{4y - x^{2} - y^{2}}$.
* $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(-2xe^{4y - x^{2} - y^{2}}) = -2x \cdot (4 - 2y)e^{4y - x^{2} - y^{2}}$.

4. Tính các đạo hàm riêng cấp hai tại điểm dừng (0, 2):
* $f_{xx}(0,2) = (-2 + 4(0)^2)e^{4(2) - 0^2 - 2^2} = -2e^{8 - 4} = -2e^4$.
* $f_{yy}(0,2) = (-2 + (4 - 2(2))^2)e^{4(2) - 0^2 - 2^2} = (-2 + (4 - 4)^2)e^{4} = -2e^4$.
* $f_{xy}(0,2) = -2(0) \cdot (4 - 2(2))e^{4(2) - 0^2 - 2^2} = 0$.

5. Tính định thức Hessian (D) và xác định loại cực trị:
$D = f_{xx}(0,2) \cdot f_{yy}(0,2) - [f_{xy}(0,2)]^2$
$D = (-2e^4) \cdot (-2e^4) - (0)^2 = 4e^8$.

Vì $D = 4e^8 > 0$ và $f_{xx}(0,2) = -2e^4 < 0$, hàm số đạt cực đại địa phương tại điểm $(0, 2)$. Giá trị cực đại là $f(0,2) = e^{4(2) - 0^2 - 2^2} = e^{8 - 4} = e^4$.
Câu 7:

Giải phương trình vi phân: y'' - 2y' + y = 0 với điều kiện y(0) = 1 và y'(0) = 2.

Lời giải:
Câu hỏi yêu cầu giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số hằng. Để giải phương trình này, trước tiên ta cần tìm phương trình đặc trưng. Phương trình vi phân đã cho là y'' - 2y' + y = 0. Phương trình đặc trưng tương ứng là r^2 - 2r + 1 = 0. Ta giải phương trình bậc hai này để tìm nghiệm r. Phương trình này có thể được viết lại dưới dạng (r - 1)^2 = 0, do đó ta có nghiệm kép r1 = r2 = 1. Khi phương trình đặc trưng có nghiệm kép r = α, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân có dạng y(x) = (C1 + C2x)e^(αx). Trong trường hợp này, α = 1, nên nghiệm tổng quát là y(x) = (C1 + C2x)e^x. Tiếp theo, ta cần sử dụng các điều kiện ban đầu để tìm các hằng số C1 và C2. Điều kiện ban đầu thứ nhất là y(0) = 1. Thay x = 0 và y(0) = 1 vào nghiệm tổng quát, ta được 1 = (C1 + C2 * 0)e^0, suy ra C1 = 1. Điều kiện ban đầu thứ hai là y'(0) = 2. Trước tiên, ta cần tìm đạo hàm của y(x). Sử dụng quy tắc đạo hàm của tích, ta có y'(x) = C2e^x + (C1 + C2x)e^x. Thay x = 0 và y'(0) = 2 vào biểu thức đạo hàm, ta được 2 = C2e^0 + (C1 + C2 * 0)e^0, suy ra 2 = C2 + C1. Vì ta đã tìm được C1 = 1, nên ta có 2 = C2 + 1, suy ra C2 = 1. Cuối cùng, thay C1 = 1 và C2 = 1 vào nghiệm tổng quát, ta thu được nghiệm riêng của phương trình vi phân là y(x) = (1 + x)e^x. Do đó, đáp án đúng là (1 + x)e^x.
Câu 8:

Giải phương trình vi phân: y' - (2x +1)y = ex2

Lời giải:
Câu hỏi yêu cầu giải phương trình vi phân tuyến tính cấp một dạng y' + P(x)y = Q(x).

Đầu tiên, xác định các hàm P(x) và Q(x) trong phương trình đã cho: y' - (2x +1)y = e^{x^2}.
Ở đây, P(x) = -(2x + 1) và Q(x) = e^{x^2}.

Bước tiếp theo là tìm thừa số tích phân, ký hiệu là μ(x). Công thức tính thừa số tích phân là μ(x) = e^{∫ P(x) dx}.

Tính tích phân của P(x):
∫ P(x) dx = ∫ -(2x + 1) dx = -(x^2 + x).

Do đó, thừa số tích phân là:
μ(x) = e^{-(x^2 + x)}.

Nhân cả hai vế của phương trình vi phân ban đầu với thừa số tích phân μ(x):

e^{-(x^2 + x)}y' - e^{-(x^2 + x)}(2x + 1)y = e^{-(x^2 + x)}e^{x^2}

Vế trái của phương trình giờ đây là đạo hàm của tích giữa thừa số tích phân và y:

d/dx [e^{-(x^2 + x)}y] = e^{-x^2 - x}e^{x^2}

Đơn giản hóa vế phải:
e^{-x^2 - x}e^{x^2} = e^{-x}.

Vậy, phương trình trở thành:

d/dx [e^{-(x^2 + x)}y] = e^{-x}.

Để tìm y, ta tích phân cả hai vế theo x:
∫ d/dx [e^{-(x^2 + x)}y] dx = ∫ e^{-x} dx

e^{-(x^2 + x)}y = -e^{-x} + C

Cuối cùng, giải tìm y bằng cách nhân cả hai vế với e^{x^2 + x}:

y = e^{x^2 + x}(-e^{-x} + C)

y = -e^{x^2 + x}e^{-x} + Ce^{x^2 + x}

y = -e^{x^2} + Ce^{x^2 + x}.

Đây là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đã cho.
Câu 1:

Tính giới hạn sau: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x) + \ln(1-x)}{x^{2}}. \]

Lời giải:
Để tính giới hạn \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x) + \ln(1-x)}{x^{2}} \), chúng ta cần phân tích dạng của giới hạn khi \(x \to 0\).

Khi \(x \to 0\):
* Tử số: \( \ln(1+x) + \ln(1-x) \to \ln(1+0) + \ln(1-0) = \ln(1) + \ln(1) = 0 + 0 = 0 \).
* Mẫu số: \( x^2 \to 0^2 = 0 \).

Giới hạn có dạng vô định \( \frac{0}{0} \), do đó chúng ta có thể sử dụng quy tắc L'Hopital hoặc khai triển Taylor.

Phương pháp 1: Sử dụng quy tắc L'Hopital
Áp dụng quy tắc L'Hopital bằng cách lấy đạo hàm của tử số và mẫu số:

Lần 1:
* Đạo hàm tử số: \( (\ln(1+x) + \ln(1-x))' = \frac{1}{1+x} + \frac{-1}{1-x} = \frac{1}{1+x} - \frac{1}{1-x} \).
* Đạo hàm mẫu số: \( (x^2)' = 2x \).

Giới hạn trở thành: \( \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x} - \frac{1}{1-x}}{2x} \).
Kiểm tra lại dạng vô định: Khi \(x \to 0\), tử số \( \frac{1}{1+0} - \frac{1}{1-0} = 1 - 1 = 0 \), mẫu số \( 2x = 0 \). Vẫn là dạng \( \frac{0}{0} \).

Lần 2:
* Đạo hàm tử số: \( (\frac{1}{1+x} - \frac{1}{1-x})' = (-(1+x)^{-2}) - (-(1-x)^{-2} \cdot (-1)) = -\frac{1}{(1+x)^2} - \frac{1}{(1-x)^2} \).
* Đạo hàm mẫu số: \( (2x)' = 2 \).

Giới hạn trở thành: \( \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{(1+x)^2} - \frac{1}{(1-x)^2}}{2} \).
Thay \(x = 0\) vào biểu thức:
\( = \frac{-\frac{1}{(1+0)^2} - \frac{1}{(1-0)^2}}{2} = \frac{-1 - 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \).

Phương pháp 2: Sử dụng khai triển Taylor
Chúng ta biết khai triển Taylor của \( \ln(1+u) \) quanh \(u=0\) là:
\( \ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - O(u^4) \).

Áp dụng cho \( \ln(1+x) \) và \( \ln(1-x) \):
* \( \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + O(x^3) \).
* \( \ln(1-x) = (-x) - \frac{(-x)^2}{2} + O((-x)^3) = -x - \frac{x^2}{2} + O(x^3) \).

Cộng hai khai triển này lại:
\( \ln(1+x) + \ln(1-x) = (x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)) + (-x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)) \)
\( = (x - x) + (-\frac{x^2}{2} - \frac{x^2}{2}) + O(x^3) \)
\( = -x^2 + O(x^3) \).

Thay vào giới hạn ban đầu:
\( \lim_{x \to 0} \frac{-x^2 + O(x^3)}{x^2} \)
\( = \lim_{x \to 0} \frac{x^2(-1 + O(x))}{x^2} \)
\( = \lim_{x \to 0} (-1 + O(x)) \)
\( = -1 \).

Cả hai phương pháp đều cho kết quả là \(-1\).
Câu 2:

Tìm a để hàm số  f(x) = \begin{cases} \dfrac{1 - e^{x}}{x}, & \text{khi } x \neq 0, \\[8pt] a, & khi  x = 0 \end{cases} liên tục tại điểm x = 0.

Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Câu 3:

Viết khai triển Maclaurin hàm f(x) = x + \sqrt{x+1} đến x^{2} với phần dư Peano.

Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Đồ Án Tốt Nghiệp Trí Tuệ Nhân Tạo Và Học Máy

Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Ngành Trí Tuệ Nhân Tạo Và Học Máy

89 tài liệu310 lượt tải
Đồ Án Tốt Nghiệp Hệ Thống Thông Tin

Bộ 120+ Đồ Án Tốt Nghiệp Ngành Hệ Thống Thông Tin

125 tài liệu441 lượt tải
Đồ Án Tốt Nghiệp Mạng Máy Tính Và Truyền Thông

Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Ngành Mạng Máy Tính Và Truyền Thông

104 tài liệu687 lượt tải
Khóa Luận Tốt Nghiệp Kiểm Toán

Bộ Luận Văn Tốt Nghiệp Ngành Kiểm Toán

103 tài liệu589 lượt tải
Luận Văn Tốt Nghiệp Kế Toán Doanh Nghiệp

Bộ 370+ Luận Văn Tốt Nghiệp Ngành Kế Toán Doanh Nghiệp

377 tài liệu1030 lượt tải
Luận Văn Tốt Nghiệp Quản Trị Thương Hiệu

Bộ Luận Văn Tốt Nghiệp Ngành Quản Trị Thương Hiệu

99 tài liệu1062 lượt tải