JavaScript is required

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \[ f(x) = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x - 2}. \] trên đoạn [2;4].

Trả lời:

Đáp án đúng:


Câu hỏi yêu cầu tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x - 2}$ trên đoạn [2;4]. Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau: 1. **Tìm tập xác định của hàm số:** Hàm số có hai căn thức, do đó ta cần: - $4 - x \ge 0 \implies x \le 4$ - $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$ Kết hợp hai điều kiện, ta có tập xác định của hàm số là $D = [2; 4]$. Đoạn [2;4] chính là đoạn được cho trong đề bài, nên hàm số xác định trên toàn bộ đoạn xét. 2. **Tính đạo hàm của hàm số:** Ta có $f'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{4 - x} + \sqrt{x - 2})$. Sử dụng quy tắc đạo hàm của $\sqrt{u}$ là $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$: - Đạo hàm của $\sqrt{4 - x}$ là $\frac{-1}{2\sqrt{4 - x}}$. - Đạo hàm của $\sqrt{x - 2}$ là $\frac{1}{2\sqrt{x - 2}}$. Do đó, $f'(x) = \frac{-1}{2\sqrt{4 - x}} + \frac{1}{2\sqrt{x - 2}}$. 3. **Tìm các điểm tới hạn (nghiệm của đạo hàm và các điểm mà đạo hàm không xác định):** - **Xét $f'(x) = 0$:** $\frac{-1}{2\sqrt{4 - x}} + \frac{1}{2\sqrt{x - 2}} = 0$ $\frac{1}{2\sqrt{x - 2}} = \frac{1}{2\sqrt{4 - x}}$ $\sqrt{x - 2} = \sqrt{4 - x}$ Bình phương hai vế: $x - 2 = 4 - x$ $2x = 6$ $x = 3$. Điểm này thuộc đoạn [2;4]. - **Xét các điểm mà đạo hàm không xác định:** Đạo hàm $f'(x)$ không xác định khi các mẫu số bằng 0, tức là $\sqrt{4 - x} = 0$ hoặc $\sqrt{x - 2} = 0$. - $\sqrt{4 - x} = 0 \implies 4 - x = 0 \implies x = 4$. Đây là một trong hai đầu mút của đoạn xét. - $\sqrt{x - 2} = 0 \implies x - 2 = 0 \implies x = 2$. Đây là đầu mút còn lại của đoạn xét. 4. **Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại hai đầu mút của đoạn:** - Tại $x = 2$: $f(2) = \sqrt{4 - 2} + \sqrt{2 - 2} = \sqrt{2} + 0 = \sqrt{2}$. - Tại $x = 3$: $f(3) = \sqrt{4 - 3} + \sqrt{3 - 2} = \sqrt{1} + \sqrt{1} = 1 + 1 = 2$. - Tại $x = 4$: $f(4) = \sqrt{4 - 4} + \sqrt{4 - 2} = 0 + \sqrt{2} = \sqrt{2}$. 5. **So sánh các giá trị để tìm GTLN và GTNN:** Ta có các giá trị là $\sqrt{2}$, $2$, $\sqrt{2}$. Vì $2 = \sqrt{4}$ và $\sqrt{4} > \sqrt{2}$, nên: - Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [2;4] là 2 (đạt tại $x=3$). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [2;4] là $\sqrt{2}$ (đạt tại $x=2$ và $x=4$). Do đó, đáp án đúng là giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng $\sqrt{2}$.

This document is an end-of-term exam for Advanced Mathematics 2 from the Banking University Ho Chi Minh City, Department of Quantitative Economics. It contains 8 problems covering topics such as limits, continuity, Maclaurin series, finding maximum and minimum values of functions, definite integrals, finding critical points of multivariable functions, and solving differential equations. The exam duration is 75 minutes.


8 câu hỏi 75 phút

Câu hỏi liên quan