Tìm cực trị tự do của hàm số \[ f(x,y) = e^{4y - x^{2} - y^{2}}. \]

Để tìm cực trị tự do của hàm số $f(x,y) = e^{4y - x^{2} - y^{2}}$, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. **Tìm đạo hàm riêng cấp một:** * Đạo hàm riêng theo $x$: $\frac{\partial f}{\partial x} = f'(x)e^{g(x,y)}$ với $f'(x) = e^{4y - x^{2} - y^{2}}$ và $g(x,y) = 4y - x^2 - y^2$. Ta có $\frac{\partial}{\partial x}(e^{4y - x^{2} - y^{2}}) = e^{4y - x^{2} - y^{2}} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(4y - x^{2} - y^{2}) = e^{4y - x^{2} - y^{2}} \cdot (-2x) = -2xe^{4y - x^{2} - y^{2}}$. * Đạo hàm riêng theo $y$: $\frac{\partial f}{\partial y} = e^{4y - x^{2} - y^{2}} \cdot \frac{\partial}{\partial y}(4y - x^{2} - y^{2}) = e^{4y - x^{2} - y^{2}} \cdot (4 - 2y) = (4 - 2y)e^{4y - x^{2} - y^{2}}$. 2. **Tìm điểm dừng (critical points):** Đặt các đạo hàm riêng bằng 0: * $-2xe^{4y - x^{2} - y^{2}} = 0 \implies -2x = 0 \implies x = 0$ (vì $e^{...}$ luôn dương). * $(4 - 2y)e^{4y - x^{2} - y^{2}} = 0 \implies 4 - 2y = 0 \implies 2y = 4 \implies y = 2$. Vậy, điểm dừng duy nhất là $(0, 2)$. 3. **Tìm đạo hàm riêng cấp hai:** * $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(-2xe^{4y - x^{2} - y^{2}})$. Áp dụng quy tắc nhân: $(-2)e^{4y - x^{2} - y^{2}} + (-2x) \cdot (-2xe^{4y - x^{2} - y^{2}}) = (-2 - 2x(-2x))e^{4y - x^{2} - y^{2}} = (-2 + 4x^2)e^{4y - x^{2} - y^{2}}$. * $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}((4 - 2y)e^{4y - x^{2} - y^{2}})$. Áp dụng quy tắc nhân: $(-2)e^{4y - x^{2} - y^{2}} + (4 - 2y) \cdot (4 - 2y)e^{4y - x^{2} - y^{2}} = (-2 + (4 - 2y)^2)e^{4y - x^{2} - y^{2}}$. * $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(-2xe^{4y - x^{2} - y^{2}}) = -2x \cdot (4 - 2y)e^{4y - x^{2} - y^{2}}$. 4. **Tính các đạo hàm riêng cấp hai tại điểm dừng (0, 2):** * $f_{xx}(0,2) = (-2 + 4(0)^2)e^{4(2) - 0^2 - 2^2} = -2e^{8 - 4} = -2e^4$. * $f_{yy}(0,2) = (-2 + (4 - 2(2))^2)e^{4(2) - 0^2 - 2^2} = (-2 + (4 - 4)^2)e^{4} = -2e^4$. * $f_{xy}(0,2) = -2(0) \cdot (4 - 2(2))e^{4(2) - 0^2 - 2^2} = 0$. 5. **Tính định thức Hessian (D) và xác định loại cực trị:** $D = f_{xx}(0,2) \cdot f_{yy}(0,2) - [f_{xy}(0,2)]^2$ $D = (-2e^4) \cdot (-2e^4) - (0)^2 = 4e^8$. Vì $D = 4e^8 > 0$ và $f_{xx}(0,2) = -2e^4 < 0$, hàm số đạt cực đại địa phương tại điểm $(0, 2)$. Giá trị cực đại là $f(0,2) = e^{4(2) - 0^2 - 2^2} = e^{8 - 4} = e^4$.