Tìm a để hàm số  f(x) = \begin{cases} \dfrac{1 - e^{x}}{x}, & \text{khi } x \neq 0, \\[8pt] a, & khi  x = 0 \end{cases} liên tục tại điểm x = 0.

Để viết khai triển Maclaurin cho hàm f(x) = x + \sqrt{x+1} đến bậc x^2 với phần dư Peano, chúng ta cần tìm các đạo hàm của hàm f(x) tại x = 0. Khai triển Maclaurin của một hàm f(x) có dạng: f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + o(x^2) khi x \to 0.

Bước 1: Tìm các giá trị của hàm và các đạo hàm tại x = 0.
Ta có hàm f(x) = x + \sqrt{x+1}.

Đạo hàm bậc 0: f(0) = 0 + \sqrt{0+1} = 1.

Đạo hàm bậc 1: f'(x) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x+1}}.
Tại x = 0: f'(0) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{0+1}} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.

Đạo hàm bậc 2: f''(x) = \frac{d}{dx} \left( 1 + \frac{1}{2}(x+1)^{-1/2} \right) = 0 + \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} \right) (x+1)^{-3/2} = -\frac{1}{4}(x+1)^{-3/2} = -\frac{1}{4\sqrt{(x+1)^3}}.
Tại x = 0: f''(0) = -\frac{1}{4\sqrt{(0+1)^3}} = -\frac{1}{4}.

Bước 2: Thay các giá trị đã tìm được vào công thức khai triển Maclaurin.
Khai triển Maclaurin đến bậc x^2 với phần dư Peano có dạng:
f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + o(x^2).
Thay số vào, ta được:
f(x) = 1 + \frac{3}{2}x + \frac{-1/4}{2}x^2 + o(x^2).
f(x) = 1 + \frac{3}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + o(x^2).

Vậy khai triển Maclaurin của hàm f(x) = x + \sqrt{x+1} đến x^2 với phần dư Peano là 1 + \frac{3}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + o(x^2).

Câu hỏi yêu cầu tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x - 2}$ trên đoạn [2;4].

Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tìm tập xác định của hàm số:
Hàm số có hai căn thức, do đó ta cần:
- $4 - x \ge 0 \implies x \le 4$
- $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$
Kết hợp hai điều kiện, ta có tập xác định của hàm số là $D = [2; 4]$.
Đoạn [2;4] chính là đoạn được cho trong đề bài, nên hàm số xác định trên toàn bộ đoạn xét.

2. Tính đạo hàm của hàm số:
Ta có $f'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{4 - x} + \sqrt{x - 2})$.
Sử dụng quy tắc đạo hàm của $\sqrt{u}$ là $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$:
- Đạo hàm của $\sqrt{4 - x}$ là $\frac{-1}{2\sqrt{4 - x}}$.
- Đạo hàm của $\sqrt{x - 2}$ là $\frac{1}{2\sqrt{x - 2}}$.
Do đó, $f'(x) = \frac{-1}{2\sqrt{4 - x}} + \frac{1}{2\sqrt{x - 2}}$.

3. Tìm các điểm tới hạn (nghiệm của đạo hàm và các điểm mà đạo hàm không xác định):
- Xét $f'(x) = 0$:
$\frac{-1}{2\sqrt{4 - x}} + \frac{1}{2\sqrt{x - 2}} = 0$
$\frac{1}{2\sqrt{x - 2}} = \frac{1}{2\sqrt{4 - x}}$
$\sqrt{x - 2} = \sqrt{4 - x}$
Bình phương hai vế: $x - 2 = 4 - x$
$2x = 6$
$x = 3$. Điểm này thuộc đoạn [2;4].
- Xét các điểm mà đạo hàm không xác định:
Đạo hàm $f'(x)$ không xác định khi các mẫu số bằng 0, tức là $\sqrt{4 - x} = 0$ hoặc $\sqrt{x - 2} = 0$.
- $\sqrt{4 - x} = 0 \implies 4 - x = 0 \implies x = 4$. Đây là một trong hai đầu mút của đoạn xét.
- $\sqrt{x - 2} = 0 \implies x - 2 = 0 \implies x = 2$. Đây là đầu mút còn lại của đoạn xét.

4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại hai đầu mút của đoạn:
- Tại $x = 2$: $f(2) = \sqrt{4 - 2} + \sqrt{2 - 2} = \sqrt{2} + 0 = \sqrt{2}$.
- Tại $x = 3$: $f(3) = \sqrt{4 - 3} + \sqrt{3 - 2} = \sqrt{1} + \sqrt{1} = 1 + 1 = 2$.
- Tại $x = 4$: $f(4) = \sqrt{4 - 4} + \sqrt{4 - 2} = 0 + \sqrt{2} = \sqrt{2}$.

5. So sánh các giá trị để tìm GTLN và GTNN:
Ta có các giá trị là $\sqrt{2}$, $2$, $\sqrt{2}$.
Vì $2 = \sqrt{4}$ và $\sqrt{4} > \sqrt{2}$, nên:
- Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [2;4] là 2 (đạt tại $x=3$).
- Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [2;4] là $\sqrt{2}$ (đạt tại $x=2$ và $x=4$).

Do đó, đáp án đúng là giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng $\sqrt{2}$.

Câu hỏi yêu cầu tính tích phân suy rộng từ 0 đến vô cùng của hàm số f(x) = x / (1 + x^4). Đây là một bài toán tính tích phân xác định, cụ thể là tích phân suy rộng. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Đặt ẩn phụ: Nhận thấy mẫu số có dạng 1 + x^4, ta có thể đặt t = x^2. Khi đó, dt = 2x dx, hay x dx = dt/2.
Đổi cận:
Khi x = 0, thì t = 0^2 = 0.
Khi x -> +∞, thì t -> +∞.

Hàm số trở thành: \(\frac{x}{1+x^4} \, dx = \frac{1}{1+(x^2)^2} \, x \, dx = \frac{1}{1+t^2} \, \frac{dt}{2}

2. Tính tích phân với biến mới: Thay vào tích phân ban đầu, ta có:
\( I = \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+t^2} \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+t^2} \, dt \)

3. Tìm nguyên hàm: Nguyên hàm của hàm \(\frac{1}{1+t^2}\) là \(\arctan(t)\).

4. Áp dụng công thức tích phân xác định:
\( I = \frac{1}{2} \left[ \arctan(t) \right]_{0}^{+\infty} \)
\( I = \frac{1}{2} \left( \lim_{t \to +\infty} \arctan(t) - \arctan(0) \right) \)

5. Tính giới hạn:
\( \lim_{t \to +\infty} \arctan(t) = \frac{\pi}{2} \)
\( \arctan(0) = 0 \)

6. Kết quả cuối cùng:
\( I = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{\pi}{4} \)

Vậy, giá trị của tích phân là \(\frac{\pi}{4}\).

Để tìm cực trị tự do của hàm số $f(x,y) = e^{4y - x^{2} - y^{2}}$, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm riêng cấp một:
* Đạo hàm riêng theo $x$: $\frac{\partial f}{\partial x} = f'(x)e^{g(x,y)}$ với $f'(x) = e^{4y - x^{2} - y^{2}}$ và $g(x,y) = 4y - x^2 - y^2$.
Ta có $\frac{\partial}{\partial x}(e^{4y - x^{2} - y^{2}}) = e^{4y - x^{2} - y^{2}} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(4y - x^{2} - y^{2}) = e^{4y - x^{2} - y^{2}} \cdot (-2x) = -2xe^{4y - x^{2} - y^{2}}$.
* Đạo hàm riêng theo $y$: $\frac{\partial f}{\partial y} = e^{4y - x^{2} - y^{2}} \cdot \frac{\partial}{\partial y}(4y - x^{2} - y^{2}) = e^{4y - x^{2} - y^{2}} \cdot (4 - 2y) = (4 - 2y)e^{4y - x^{2} - y^{2}}$.

2. Tìm điểm dừng (critical points):
Đặt các đạo hàm riêng bằng 0:
* $-2xe^{4y - x^{2} - y^{2}} = 0 \implies -2x = 0 \implies x = 0$ (vì $e^{...}$ luôn dương).
* $(4 - 2y)e^{4y - x^{2} - y^{2}} = 0 \implies 4 - 2y = 0 \implies 2y = 4 \implies y = 2$.
Vậy, điểm dừng duy nhất là $(0, 2)$.

3. Tìm đạo hàm riêng cấp hai:
* $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(-2xe^{4y - x^{2} - y^{2}})$. Áp dụng quy tắc nhân: $(-2)e^{4y - x^{2} - y^{2}} + (-2x) \cdot (-2xe^{4y - x^{2} - y^{2}}) = (-2 - 2x(-2x))e^{4y - x^{2} - y^{2}} = (-2 + 4x^2)e^{4y - x^{2} - y^{2}}$.
* $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}((4 - 2y)e^{4y - x^{2} - y^{2}})$. Áp dụng quy tắc nhân: $(-2)e^{4y - x^{2} - y^{2}} + (4 - 2y) \cdot (4 - 2y)e^{4y - x^{2} - y^{2}} = (-2 + (4 - 2y)^2)e^{4y - x^{2} - y^{2}}$.
* $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(-2xe^{4y - x^{2} - y^{2}}) = -2x \cdot (4 - 2y)e^{4y - x^{2} - y^{2}}$.

4. Tính các đạo hàm riêng cấp hai tại điểm dừng (0, 2):
* $f_{xx}(0,2) = (-2 + 4(0)^2)e^{4(2) - 0^2 - 2^2} = -2e^{8 - 4} = -2e^4$.
* $f_{yy}(0,2) = (-2 + (4 - 2(2))^2)e^{4(2) - 0^2 - 2^2} = (-2 + (4 - 4)^2)e^{4} = -2e^4$.
* $f_{xy}(0,2) = -2(0) \cdot (4 - 2(2))e^{4(2) - 0^2 - 2^2} = 0$.

5. Tính định thức Hessian (D) và xác định loại cực trị:
$D = f_{xx}(0,2) \cdot f_{yy}(0,2) - [f_{xy}(0,2)]^2$
$D = (-2e^4) \cdot (-2e^4) - (0)^2 = 4e^8$.

Vì $D = 4e^8 > 0$ và $f_{xx}(0,2) = -2e^4 < 0$, hàm số đạt cực đại địa phương tại điểm $(0, 2)$. Giá trị cực đại là $f(0,2) = e^{4(2) - 0^2 - 2^2} = e^{8 - 4} = e^4$.

Câu hỏi yêu cầu giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số hằng. Để giải phương trình này, trước tiên ta cần tìm phương trình đặc trưng. Phương trình vi phân đã cho là y'' - 2y' + y = 0. Phương trình đặc trưng tương ứng là r^2 - 2r + 1 = 0. Ta giải phương trình bậc hai này để tìm nghiệm r. Phương trình này có thể được viết lại dưới dạng (r - 1)^2 = 0, do đó ta có nghiệm kép r1 = r2 = 1. Khi phương trình đặc trưng có nghiệm kép r = α, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân có dạng y(x) = (C1 + C2x)e^(αx). Trong trường hợp này, α = 1, nên nghiệm tổng quát là y(x) = (C1 + C2x)e^x. Tiếp theo, ta cần sử dụng các điều kiện ban đầu để tìm các hằng số C1 và C2. Điều kiện ban đầu thứ nhất là y(0) = 1. Thay x = 0 và y(0) = 1 vào nghiệm tổng quát, ta được 1 = (C1 + C2 * 0)e^0, suy ra C1 = 1. Điều kiện ban đầu thứ hai là y'(0) = 2. Trước tiên, ta cần tìm đạo hàm của y(x). Sử dụng quy tắc đạo hàm của tích, ta có y'(x) = C2e^x + (C1 + C2x)e^x. Thay x = 0 và y'(0) = 2 vào biểu thức đạo hàm, ta được 2 = C2e^0 + (C1 + C2 * 0)e^0, suy ra 2 = C2 + C1. Vì ta đã tìm được C1 = 1, nên ta có 2 = C2 + 1, suy ra C2 = 1. Cuối cùng, thay C1 = 1 và C2 = 1 vào nghiệm tổng quát, ta thu được nghiệm riêng của phương trình vi phân là y(x) = (1 + x)e^x. Do đó, đáp án đúng là (1 + x)e^x.