Theo dõi thời gian hoàn thành sản phẩm của 50 công nhân ta có bảng số liệu sau:

Thời gian (phút)	12-14	14-16	16-18	18-20	20-22	22-24	24-26	26-28
Số công nhân	4	10	1	12	14	2	6	1

Thời gian hoàn thành sản phẩm trung bình của công nhân là:

Gọi X là số ván đấu. Trò chơi kết thúc khi một người thắng 2 ván liên tiếp. Số ván đấu có thể là 2 hoặc 3.

Trường hợp X = 2: A thắng 2 ván liên tiếp hoặc B thắng 2 ván liên tiếp. P(X=2) = p^2 + (1-p)^2 = p^2 + 1 - 2p + p^2 = 2p^2 - 2p + 1

Trường hợp X = 3: A thắng 2 ván, nhưng không liên tiếp, hoặc B thắng 2 ván nhưng không liên tiếp. Tức là xảy ra các trường hợp sau: ABA, BAB. P(ABA) = p(1-p)p = p^2(1-p); P(BAB) = (1-p)p(1-p) = p(1-p)^2

P(X=3) = p^2(1-p) + p(1-p)^2 = p(1-p)(p + 1 - p) = p(1-p) = p - p^2.

Vậy E[X] = 2P(X=2) + 3P(X=3) = 2*(2p^2 - 2p + 1) + 3*(p-p^2) = 4p^2 - 4p + 2 + 3p - 3p^2 = p^2 - p + 2 = -p^2 + (-p) + 2. Đáp án này không có trong các lựa chọn.

Tuy nhiên, cách tiếp cận khác:

Để A thắng, có các trường hợp: AA, BAA, ABA Để B thắng, có các trường hợp: BB, ABB, BAB

P(AA) = p^2 P(BAA) = (1-p)p^2 P(ABA) = p(1-p)p = p^2(1-p) P(BB) = (1-p)^2 P(ABB) = p(1-p)^2 P(BAB) = (1-p)p(1-p) = p(1-p)^2

E[X] = 2*(P(AA) + P(BB)) + 3*(P(BAA) + P(ABA) + P(ABB) + P(BAB))

E[X] = 2*(p^2 + (1-p)^2) + 3*((1-p)p^2 + p^2(1-p) + p(1-p)^2 + p(1-p)^2)

E[X] = 2*(p^2 + 1 - 2p + p^2) + 3*(2p^2(1-p) + 2p(1-p)^2)

E[X] = 2*(2p^2 - 2p + 1) + 6*p(1-p)(p + 1 - p)

E[X] = 4p^2 - 4p + 2 + 6p(1-p)

E[X] = 4p^2 - 4p + 2 + 6p - 6p^2

E[X] = -2p^2 + 2p + 2 = 2(-p^2 + p + 1)

Vậy đáp án đúng là 2(-p^2 + p + 1).

Bài toán này sử dụng quy tắc nhân trong tổ hợp. Có 3 cách chọn mặt đồng hồ và 4 cách chọn dây đồng hồ. Vậy số cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây là 3 * 4 = 12.

Để chọn một học sinh nam từ 280 học sinh nam, có 280 cách chọn.
Để chọn một học sinh nữ từ 325 học sinh nữ, có 325 cách chọn.
Vì hai sự kiện này xảy ra đồng thời (chọn cả nam và nữ), ta sử dụng quy tắc nhân để tính tổng số cách chọn.
Vậy, số cách chọn là: 280 * 325 = 91000.