Giả sử 2 người A, B chơi 1 trò chơi không có hoà và trận đấu kết thúc nếu một bên thắng 2 ván. Giả sử các ván là độc lập và xác suất thắng ở mỗi ván của A là p. Gọi X là số ván đấu. EX là:
Trả lời:
Đáp án đúng: A
Gọi X là số ván đấu.
Trò chơi kết thúc khi một người thắng 2 ván liên tiếp. Số ván đấu có thể là 2 hoặc 3.
- Trường hợp X = 2: A thắng 2 ván liên tiếp hoặc B thắng 2 ván liên tiếp. P(X=2) = p^2 + (1-p)^2 = p^2 + 1 - 2p + p^2 = 2p^2 - 2p + 1
- Trường hợp X = 3: A thắng 2 ván, nhưng không liên tiếp, hoặc B thắng 2 ván nhưng không liên tiếp. Tức là xảy ra các trường hợp sau: ABA, BAB. P(ABA) = p(1-p)p = p^2(1-p); P(BAB) = (1-p)p(1-p) = p(1-p)^2
P(X=3) = p^2(1-p) + p(1-p)^2 = p(1-p)(p + 1 - p) = p(1-p) = p - p^2.
Vậy E[X] = 2*P(X=2) + 3*P(X=3) = 2*(2p^2 - 2p + 1) + 3*(p-p^2) = 4p^2 - 4p + 2 + 3p - 3p^2 = p^2 - p + 2 = -p^2 + (-p) + 2. Đáp án này không có trong các lựa chọn.
Tuy nhiên, cách tiếp cận khác:
Để A thắng, có các trường hợp: AA, BAA, ABA
Để B thắng, có các trường hợp: BB, ABB, BAB
P(AA) = p^2
P(BAA) = (1-p)p^2
P(ABA) = p(1-p)p = p^2(1-p)
P(BB) = (1-p)^2
P(ABB) = p(1-p)^2
P(BAB) = (1-p)p(1-p) = p(1-p)^2
E[X] = 2*(P(AA) + P(BB)) + 3*(P(BAA) + P(ABA) + P(ABB) + P(BAB))
E[X] = 2*(p^2 + (1-p)^2) + 3*((1-p)p^2 + p^2(1-p) + p(1-p)^2 + p(1-p)^2)
E[X] = 2*(p^2 + 1 - 2p + p^2) + 3*(2p^2(1-p) + 2p(1-p)^2)
E[X] = 2*(2p^2 - 2p + 1) + 6*p(1-p)(p + 1 - p)
E[X] = 4p^2 - 4p + 2 + 6p(1-p)
E[X] = 4p^2 - 4p + 2 + 6p - 6p^2
E[X] = -2p^2 + 2p + 2 = 2(-p^2 + p + 1)
Vậy đáp án đúng là 2(-p^2 + p + 1).
Chia sẻ hơn 467 câu trắc nghiệm Xác suất thống kê có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đăng ôn thi để đạt kết quả cao trong kì thi sắp diễn ra.
50 câu hỏi 60 phút
