The value of the Durbin Watson test statistic in a regression with 4 regressors (including the constant term) estimated on 100 observations is 3.6. What might we suggest from this? 

Khi thêm các giá trị trễ của biến phụ thuộc vào phương trình hồi quy, một vấn đề thường gặp là hiện tượng đa cộng tuyến (multicollinearity). Điều này xảy ra vì các giá trị trễ của biến phụ thuộc thường tương quan cao với các giá trị hiện tại của các biến khác trong mô hình. Điều này có thể dẫn đến các ước lượng hệ số không ổn định và khó diễn giải.

Tại sao các lựa chọn khác không đúng:

• Lựa chọn 1: Việc thêm các giá trị trễ của biến phụ thuộc không nhất thiết vi phạm giả định rằng các biến giải thích là không ngẫu nhiên (non-stochastic). Giả định này liên quan đến việc các biến giải thích được coi là cố định trong các mẫu lặp lại, chứ không phải là chúng không tương quan với biến phụ thuộc.


• Lựa chọn 2: Một mô hình với nhiều độ trễ có thể dẫn đến vi phạm tính chuẩn của phần dư (residual non-normality) nếu các độ trễ được thêm vào không thực sự cải thiện mô hình hoặc nếu các độ trễ này che lấp các vấn đề khác trong dữ liệu. Tuy nhiên, đây không phải là vấn đề chính hoặc duy nhất liên quan đến việc thêm các giá trị trễ của biến phụ thuộc.


• Lựa chọn 4: Việc thêm các biến giải thích vào mô hình không phải lúc nào cũng làm giảm sai số chuẩn của các hệ số. Mặc dù việc thêm các biến có thể làm tăng R-squared và giảm sai số chuẩn, nhưng nó cũng có thể làm tăng phương sai của các ước lượng nếu các biến mới có tương quan cao với các biến hiện có (đa cộng tuyến).

Thống kê Durbin-Watson (DW) được sử dụng để phát hiện tự tương quan trong các phần dư từ phân tích hồi quy. Giá trị của thống kê DW nằm trong khoảng từ 0 đến 4. Dưới đây là cách diễn giải các giá trị khác nhau:

• Gần 2: Cho thấy rằng không có tự tương quan đáng kể.
• Gần 0: Cho thấy tự tương quan dương.
• Gần 4: Cho thấy tự tương quan âm.

Trong trường hợp này, câu hỏi chỉ ra rằng chuỗi phần dư có tự tương quan âm. Do đó, giá trị của thống kê Durbin-Watson sẽ gần 4.

Để mô hình ARMA (Autoregressive Moving Average) là dừng (stationary), phần tự hồi quy (AR) của mô hình phải thỏa mãn một điều kiện quan trọng liên quan đến nghiệm của phương trình đặc trưng của nó. Cụ thể, tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng phải nằm ngoài đường tròn đơn vị trên mặt phẳng phức. Điều này có nghĩa là giá trị tuyệt đối của mỗi nghiệm phải lớn hơn 1. Nếu có bất kỳ nghiệm nào nằm bên trong hoặc trên đường tròn đơn vị, mô hình sẽ không dừng.

Phương án 1: "All roots of the characteristic equation must lie outside the unit circle" - Đây là đáp án chính xác. Nó thể hiện đúng điều kiện cần và đủ để phần tự hồi quy của mô hình ARMA là dừng.

Phương án 2: "All roots of the characteristic equation must lie inside the unit circle" - Sai. Nếu tất cả các nghiệm nằm bên trong đường tròn đơn vị, mô hình sẽ không dừng.

Phương án 3: "All roots must be smaller than unity" - Không chính xác. Điều kiện đúng là giá trị tuyệt đối của các nghiệm phải lớn hơn 1, không chỉ đơn thuần là nhỏ hơn 1. Nghiệm có thể là số âm nhưng giá trị tuyệt đối của nó vẫn lớn hơn 1.

Phương án 4: "At least one of the roots must be bigger than one in absolute value" - Sai. Tất cả các nghiệm phải lớn hơn 1 về giá trị tuyệt đối, không chỉ một nghiệm.

Trong một chuỗi thời gian tuân theo quá trình random walk (bước ngẫu nhiên) không có drift, giá trị hiện tại chứa tất cả thông tin có giá trị về giá trị tương lai. Do đó, dự báo tốt nhất cho giá trị tiếp theo (1-step ahead forecast) chính là giá trị hiện tại của chuỗi. Các phương án khác như zero, trung bình cộng đơn giản hay trung bình trọng số mũ của các giá trị trước đó không phù hợp vì chúng bỏ qua thông tin quan trọng có trong giá trị hiện tại.