Một bình chứa 10 bi, và có 5 bi đỏ, 3 bi vàng. Lấy NN lần I ra 1 bi để trên bàn, sau đó lấy lần II ra 2 bi nữa để trên bàn. Tính XS để lần II lấy ra chỉ được 2 bi đỏ.

Câu 20:

Cho X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn kỳ vọng μ = 10, phương sai σ² = 2.5². Xác suất của biến cố p[6 ≤ X < 14] là:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tính P(6 ≤ X < 14), ta cần chuẩn hóa biến ngẫu nhiên X. Đặt Z = (X - μ) / σ, với μ = 10 và σ = 2.5. Khi đó, Z tuân theo phân phối chuẩn tắc N(0, 1).

P(6 ≤ X < 14) = P((6 - 10) / 2.5 ≤ Z < (14 - 10) / 2.5) = P(-1.6 ≤ Z < 1.6)

P(-1.6 ≤ Z < 1.6) = P(Z < 1.6) - P(Z < -1.6) = P(Z < 1.6) - (1 - P(Z < 1.6)) = 2 * P(Z < 1.6) - 1

Sử dụng bảng phân phối chuẩn tắc, ta có P(Z < 1.6) ≈ 0.9452.

Vậy, P(6 ≤ X < 14) = 2 * 0.9452 - 1 = 1.8904 - 1 = 0.8904.

Câu 21:

Theo dõi thời gian hoàn thành sản phẩm của 50 công nhân ta có bảng số liệu sau:

Thời gian (phút)	12-14	14-16	16-18	18-20	20-22	22-24	24-26	26-28
Số công nhân	4	10	1	12	14	2	6	1

Thời gian hoàn thành sản phẩm trung bình của công nhân là:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tính thời gian hoàn thành sản phẩm trung bình của công nhân, ta cần tính trung bình cộng của các khoảng thời gian, có xét đến số lượng công nhân trong mỗi khoảng thời gian.

1. Xác định giá trị trung tâm của mỗi khoảng thời gian:
- 12-14: (12+14)/2 = 13
- 14-16: (14+16)/2 = 15
- 16-18: (16+18)/2 = 17
- 18-20: (18+20)/2 = 19
- 20-22: (20+22)/2 = 21
- 22-24: (22+24)/2 = 23
- 24-26: (24+26)/2 = 25
- 26-28: (26+28)/2 = 27

2. Tính tổng thời gian hoàn thành sản phẩm của tất cả công nhân:
- (13 * 4) + (15 * 10) + (17 * 1) + (19 * 12) + (21 * 14) + (23 * 2) + (25 * 6) + (27 * 1) = 52 + 150 + 17 + 228 + 294 + 46 + 150 + 27 = 964

3. Tính thời gian hoàn thành sản phẩm trung bình:
- Thời gian trung bình = Tổng thời gian / Tổng số công nhân = 964 / 50 = 19.28

Vậy, thời gian hoàn thành sản phẩm trung bình của công nhân là 19.28 phút.

Câu 22:

Trên bàn có 8 cây bút chì khác nhau, 6 cây bút bi khác nhau và 10 cuốn tập khác nhau. Một học sinh muốn chọn một đồ vật duy nhất hoặc một cây bút chì hoặc một cây bút bi hoặc một cuốn tập thì số cách chọn khác nhau là:

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Học sinh có thể chọn một trong 8 cây bút chì, hoặc một trong 6 cây bút bi, hoặc một trong 10 cuốn tập. Vì các lựa chọn này là rời rạc (chọn một thứ sẽ không chọn những thứ còn lại), ta áp dụng quy tắc cộng để tính tổng số cách chọn. Số cách chọn là 8 + 6 + 10 = 24.

Câu 23:

Giả sử 2 người A, B chơi 1 trò chơi không có hoà và trận đấu kết thúc nếu một bên thắng 2 ván. Giả sử các ván là độc lập và xác suất thắng ở mỗi ván của A là p. Gọi X là số ván đấu. EX là:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Gọi X là số ván đấu.
Trò chơi kết thúc khi một người thắng 2 ván liên tiếp. Số ván đấu có thể là 2 hoặc 3.

- Trường hợp X = 2: A thắng 2 ván liên tiếp hoặc B thắng 2 ván liên tiếp. P(X=2) = p^2 + (1-p)^2 = p^2 + 1 - 2p + p^2 = 2p^2 - 2p + 1
- Trường hợp X = 3: A thắng 2 ván, nhưng không liên tiếp, hoặc B thắng 2 ván nhưng không liên tiếp. Tức là xảy ra các trường hợp sau: ABA, BAB. P(ABA) = p(1-p)p = p^2(1-p); P(BAB) = (1-p)p(1-p) = p(1-p)^2

P(X=3) = p^2(1-p) + p(1-p)^2 = p(1-p)(p + 1 - p) = p(1-p) = p - p^2.

Vậy E[X] = 2*P(X=2) + 3*P(X=3) = 2*(2p^2 - 2p + 1) + 3*(p-p^2) = 4p^2 - 4p + 2 + 3p - 3p^2 = p^2 - p + 2 = -p^2 + (-p) + 2. Đáp án này không có trong các lựa chọn.

Tuy nhiên, cách tiếp cận khác:

Để A thắng, có các trường hợp: AA, BAA, ABA
Để B thắng, có các trường hợp: BB, ABB, BAB

P(AA) = p^2
P(BAA) = (1-p)p^2
P(ABA) = p(1-p)p = p^2(1-p)
P(BB) = (1-p)^2
P(ABB) = p(1-p)^2
P(BAB) = (1-p)p(1-p) = p(1-p)^2

E[X] = 2*(P(AA) + P(BB)) + 3*(P(BAA) + P(ABA) + P(ABB) + P(BAB))
E[X] = 2*(p^2 + (1-p)^2) + 3*((1-p)p^2 + p^2(1-p) + p(1-p)^2 + p(1-p)^2)
E[X] = 2*(p^2 + 1 - 2p + p^2) + 3*(2p^2(1-p) + 2p(1-p)^2)
E[X] = 2*(2p^2 - 2p + 1) + 6*p(1-p)(p + 1 - p)
E[X] = 4p^2 - 4p + 2 + 6p(1-p)
E[X] = 4p^2 - 4p + 2 + 6p - 6p^2
E[X] = -2p^2 + 2p + 2 = 2(-p^2 + p + 1)
Vậy đáp án đúng là 2(-p^2 + p + 1).

Câu 24:

Có 3 kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và 4 kiểu dây (kim loại, da, vải và nhựa). Hỏi có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Bài toán này sử dụng quy tắc nhân trong tổ hợp. Có 3 cách chọn mặt đồng hồ và 4 cách chọn dây đồng hồ. Vậy số cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây là 3 * 4 = 12.

Câu 25:

Trong một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ. Nhà trường cần chọn hai học sinh trong đó có một nam và một nữ đi dự trại hè của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn?

Lời giải: