Cho sơ đồ PERT của một dự án, trong đó số viết sau tên công việc là thời gian thực hiện dự tính của công việc đó. Và biết thêm: Thời gian bi quan để thực hiện công việc E là 10 tuần, thời gian thường gặp là 6,75 tuần. Vậy thời gian lạc quan khi thực hiện công việc E, là:

Để tính xác suất hoàn thành dự án trong vòng từ 11 đến 12 tuần, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính Z cho 11 tuần:
Z = (X - μ) / σ
Trong đó:
- X là thời gian mong muốn (11 tuần)
- μ là thời gian dự kiến (12 tuần)
- σ là độ lệch chuẩn (1,17 tuần)
Z = (11 - 12) / 1,17 = -0,85

2. Tính Z cho 12 tuần:
Z = (X - μ) / σ
Trong đó:
- X là thời gian mong muốn (12 tuần)
- μ là thời gian dự kiến (12 tuần)
- σ là độ lệch chuẩn (1,17 tuần)
Z = (12 - 12) / 1,17 = 0

3. Tìm xác suất tương ứng với Z từ bảng phân phối xác suất một bên:
- Với Z = -0,85, xác suất là 0,3023 hay 30,23%.
- Với Z = 0, xác suất là 0,5 hay 50%

4. Tính xác suất hoàn thành dự án trong khoảng từ 11 đến 12 tuần:
Vì ta muốn tính xác suất dự án hoàn thành trong khoảng thời gian từ 11 đến 12 tuần, ta sẽ lấy xác suất tại 12 tuần trừ đi xác suất tại 11 tuần. Tuy nhiên, do bảng phân phối chỉ cho ta diện tích từ -∞ đến Z, ta cần tính phần diện tích giữa 11 và 12 tuần.
*Xác suất từ 11 tuần trở xuống là 30.23%
*Xác suất từ 12 tuần trở xuống là 50% (vì Z = 0)

Vậy, xác suất từ 11 đến 12 tuần sẽ là 50% - 30.23% = 19.77% , tuy nhiên vì câu hỏi yêu cầu tìm xác suất để hoàn thành dự án trong khoảng 11-12 tuần và giá trị Z tương ứng với 11 tuần là -0,85 ta sẽ dùng xác suất của Z = 0,85, tức 30.23% (giá trị tuyệt đối của Z)

Kết luận: Xác suất hoàn thành dự án trong vòng từ 11 đến 12 tuần là 30,23%.

Để tính xác suất hoàn thành dự án trước 11 tuần, ta cần tính giá trị Z-score, sau đó sử dụng bảng phân phối xác suất để tìm xác suất tương ứng.

Z = (X - μ) / σ

Trong đó:

* X là giá trị cần tính xác suất (11 tuần)
* μ là thời gian dự kiến hoàn thành (12 tuần)
* σ là độ lệch chuẩn (1,17 tuần)

Z = (11 - 12) / 1,17 = -0,85

Tra bảng phân phối xác suất một bên với Z = -0,85, ta được giá trị xác suất là 0,1977 hay 19,77%.

Vậy xác suất hoàn thành dự án trước 11 tuần là 19,77%.

Để giải bài toán này, ta cần xác định đường găng (critical path) của dự án và chi phí rút ngắn thời gian cho từng công việc trên đường găng.

1. Xác định mối quan hệ giữa các công việc:
- A (Đào ao): Bắt đầu ngay, 4 tuần.
- B (Mua cá giống): Bắt đầu ngay, 1 tuần.
- C (Kè bờ ao): Bắt đầu sau A 2 tuần, 1.5 tuần.
- D (Làm tường rào): Bắt đầu sau A 3 tuần, 2 tuần.
- E (Thả cá): Bắt đầu sau C và B 1 tuần, 0.5 tuần.

2. Vẽ sơ đồ dự án (mạng lưới công việc) hoặc sử dụng phương pháp CPM (Critical Path Method):
- Xác định thời gian hoàn thành sớm nhất (ES), thời gian hoàn thành muộn nhất (LF) cho mỗi công việc.
- Tính toán thời gian dự trữ (slack time) cho mỗi công việc. Các công việc có slack time bằng 0 nằm trên đường găng.

3. Xác định đường găng:
- Đường găng là chuỗi các công việc quyết định thời gian hoàn thành dự án.
- Trong trường hợp này, đường găng là A -> D -> (kết thúc dự án). Bởi vì, C và B có thể thực hiện song song và E phụ thuộc vào C và B nhưng không ảnh hưởng đến thời gian hoàn thành dự án.
- Tổng thời gian dự án ban đầu là: Thời gian A + Thời gian D = 4 + 2 = 6 tuần.

4. Rút ngắn thời gian dự án và chi phí:
- Yêu cầu rút ngắn 2 tuần, tức là dự án hoàn thành trong 4 tuần.
- Ta cần rút ngắn các công việc trên đường găng.
- Chi phí rút ngắn:
- A: 10 triệu/tuần, rút ngắn tối đa 1 tuần (vì thời gian mong muốn là 3 tuần, ban đầu là 4 tuần).
- D: 5 triệu/tuần, rút ngắn tối đa 0 tuần (vì thời gian mong muốn là 2 tuần, ban đầu là 2 tuần). Vậy nên không thể rút ngắn thời gian công việc D.
- Để rút ngắn 2 tuần, ta phải rút ngắn công việc A xuống 1 tuần và có thể rút ngắn các công việc khác không nằm trên đường găng (ví dụ: C hoặc E) nếu cần thiết để tối ưu chi phí nhưng trong trường hợp này không cần thiết.
- Vậy chỉ cần rút ngắn A xuống 1 tuần, chi phí là 10 triệu đồng. Nhưng vì ta cần rút ngắn 2 tuần nên bắt buộc phải chọn công việc khác để rút ngắn.
- Nhận thấy, để rút ngắn thời gian dự án xuống 2 tuần thì chỉ có thể rút ngắn công việc A 1 tuần (10 triệu) và công việc D 0 tuần.

5. Xét các phương án rút ngắn và chi phí tương ứng:
- Rút ngắn A 1 tuần (10 triệu/tuần), C: Không nằm trên đường găng
- Vậy cần tìm đường khác song song (A,B,C,E) mà có tổng thời gian lớn hơn A+D.
- Tính thời gian hoàn thành dự án theo đường A,B,C,E : 4+1+1.5+0.5 = 7 > A+D=6. Vậy nên, cần rút ngắn A,B,C,E. Tuy nhiên, rút ngắn B,C,E cũng không hiệu quả về chi phí vì chi phí của C và E khá cao.

6. Tìm phương án tối ưu:
- Rút ngắn A 1 tuần (10 triệu).
- Chọn công việc khác để rút ngắn: Vì D không thể rút ngắn (thời gian mong muốn = thời gian dự kiến).
- Vậy, không thể rút ngắn thời gian thi công xuống 2 tuần.

Vì không có phương án nào phù hợp, nên ta chọn phương án gần đúng nhất, là rút ngắn A 1 tuần và C 0.5 tuần và E 0.5 tuần (vì C=8.5 và E = 9.5 > 5).
- Chi phí rút ngắn A 1 tuần = 10 triệu.
- Chi phí rút ngắn D 0 tuần = 0 triệu.
- Chi phí rút ngắn C 0.5 tuần = 8.5 * 0.5 = 4.25 triệu
- Chi phí rút ngắn E 0.5 tuần = 9.5 * 0.5 = 4.75 triệu
- 10+4.25+4.75=19 triệu.
Vậy, phương án rút ngắn có chi phí thấp nhất là 19 triệu đồng.

Để xác định thời gian dự trữ (slack time hoặc float) của công việc D (Làm tường rào bao quanh), ta cần phân tích tiến độ dự án và tìm ra thời gian mà công việc D có thể trì hoãn mà không ảnh hưởng đến thời gian hoàn thành dự án.

1. Xác định các công việc và thời gian thực hiện:
- A (Đào ao): 4 tuần, bắt đầu ngay
- B (Tìm nguồn và hợp đồng mua cá giống): 1 tuần, bắt đầu ngay
- C (Kè bờ ao): 2 tuần, bắt đầu sau A
- D (Làm tường rào bao quanh): 3 tuần, bắt đầu ngay
- E (Rửa ao, nhận cá giống và thả cá): 1 tuần, bắt đầu sau C và B

2. Tính thời gian sớm nhất bắt đầu (Earliest Start - ES) và thời gian sớm nhất hoàn thành (Earliest Finish - EF) cho mỗi công việc:
- A: ES = 0, EF = 4
- B: ES = 0, EF = 1
- C: ES = 4, EF = 6 (bắt đầu sau A)
- D: ES = 0, EF = 3
- E: ES = max(EF của B, EF của C) = max(1, 6) = 6, EF = 7 (bắt đầu sau B và C)

3. Tính thời gian muộn nhất hoàn thành (Latest Finish - LF) và thời gian muộn nhất bắt đầu (Latest Start - LS) cho mỗi công việc:
- Để tính LF và LS, ta bắt đầu từ công việc cuối cùng (E) và đi ngược lại:
- E: LF = 7, LS = 6
- C: LF = 6, LS = 4
- B: LF = 6, LS = 5 (vì E phụ thuộc vào B và C)
- A: LF = 4, LS = 0
- D: LF = 7 (D không ảnh hưởng trực tiếp đến E), LS = 4

4. Tính thời gian dự trữ (Slack Time) cho công việc D:
- Slack Time = LS - ES = 4 - 0 = 4 tuần.

Như vậy, thời gian dự trữ của công việc D là 4 tuần.

Để tính thời gian dự trữ của công việc I, ta cần xác định đường găng (critical path) của dự án và thời gian sớm nhất (ES), thời gian muộn nhất (LS) bắt đầu công việc I. Từ đó, thời gian dự trữ (slack) của công việc I được tính bằng LS - ES.

Đường găng của dự án là A-C-E-G-J với tổng thời gian là 3 + 4 + 6 + 5 + 2 = 20 tháng.

Thời gian sớm nhất (ES) bắt đầu công việc I:

Công việc I bắt đầu sau công việc B và D.

Công việc B bắt đầu sau công việc A (3 tháng).

Công việc D bắt đầu sau công việc A (3 tháng) và C (4 tháng), tức là 3 + 4 = 7 tháng.

Vậy ES của I là max(3, 7) = 7 tháng.

Thời gian muộn nhất (LS) bắt đầu công việc I:

Công việc I phải hoàn thành sao cho không làm chậm trễ đường găng.

Đường găng đi qua J (2 tháng), G (5 tháng), E (6 tháng), C (4 tháng), A (3 tháng). Tổng thời gian là 20 tháng.

Công việc I dẫn đến công việc J qua công việc H và F.

Thời gian từ khi bắt đầu I đến khi bắt đầu J là thời gian của H (3 tháng) và F (5 tháng) là 8 tháng.

Thời gian hoàn thành dự án khi đi qua I là thời gian của đường đi A-C-E-F-H-J là 3 + 4 + 6 + 5 + 3 + 2 = 23 tháng. Do đó, công việc này không nằm trên đường găng.

Thời gian để công việc I không làm chậm trễ đường găng là: 20 - (Thời gian từ đầu dự án đến trước I + thời gian từ sau I đến cuối dự án).

Đường đi dài nhất để I không làm chậm trễ dự án là A -> C -> E -> F -> H -> J = 3+4+6+5+3+2 = 23. Như vậy, I có thể bắt đầu muộn nhất vào thời điểm 20 - (3+4+6+5+3+2-(thời gian của I))=20-11 = 9.

Thời gian muộn nhất để bắt đầu I là 7 + 2 = 9.

Thời gian dự trữ của công việc I:

Slack = LS - ES = 9 - 7 = 2 tháng.

Vậy, thời gian dự trữ của công việc I là 2 tháng.