Xét đồ thị (C) của hàm số \(y = {x^3} + 3ax + b\) với \(a, b\) là các số thực. Gọi M, N là hai điểm phân biệt thuộc (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại hai điểm đó có hệ số góc bằng 3. Biết khoảng cách từ gốc tọa độ tới đường thẳng MN bằng 1, giá trị nhỏ nhất của \({a^2} + {b^2}\) bằng:

Cho hàm số \(y = 2{x^4} - 8{x^2}\) có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với trục hoành?

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại C, mặt phẳng (SAB) vuông góc mặt phẳng (ABC), SA = SB, I là trung điểm AB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là

Có một tấm gỗ hình vuông cạnh 200 cm. Cắt một tấm gỗ có hình tam giác vuông, có tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng 120 cm từ tấm gỗ trên sao cho tấm gỗ hình tam giác vuông có diện tích lớn nhất. Hỏi cạnh huyền của tấm gỗ này  là bao nhiêu?

Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 5 học sinh lớp 12C trên một bàn tròn . Tính xác suất để các học sinh cùng lớp luôn ngồi cạnh nhau .

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số \(y = f\left( {{x^2}} \right)\) có bao nhiêu khoảng nghịch biến.

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(y = f'\left( x \right)\) liên tục trên R và đồ thị của hàm số \(f'\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;6} \right]\) như hình vẽ bên.

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

Cho hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {a{x^2} + 1} }}\) có đồ thị (C). Tìm \(a\) để đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đó cách đường tiếp tuyến của (C) một khoảng bằng \(\sqrt 2  - 1\).

Có 16 tấm bìa ghi 16 chữ “HỌC”, “ĐỂ”, “BIẾT”, “HỌC”, “ĐỂ”, “LÀM”, “HỌC”, “ĐỂ”, “CHUNG”, “SỐNG”, “HỌC”, “ĐỂ”, “TỰ”, “KHẲNG”, “ĐỊNH”, “MÌNH”. Một người xếp ngẫu nhiên 16 tấm bìa cạnh nhau. Tính xác suất để xếp các tấm bìa được dòng chữ “ HỌC ĐỂ BIẾT HỌC ĐỂ LÀM HỌC ĐỂ CHUNG SỐNG HỌC ĐỂ TỰ KHẲNG ĐỊNH MÌNH”.

Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng của đồ thị của hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}}.\)

Gọi M, N là giao điểm của đường thẳng \(y=x+1\) và đường cong \(y = \frac{{2x + 4}}{{x - 1}}\). Khi đó hoành độ trung điểm I của đoạn thẳng MN bằng

Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên sau

Tìm số nghiệm của phương trình \(2\left| {f\left( x \right)} \right| - 1 = 0\).

Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm giá trị của \(k\) thích hợp điền vào đẳng thức vectơ \(\overrightarrow {MN}  = k\left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC} } \right)\)?

Biết hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) đạt cực tiểu tại điểm \(x = 1,f\left( 1 \right) =  - 3\) và đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2. Tính giá trị của hàm số tại \(x=3\).

Cho tứ diện ABCD và các điểm M, N xác định bởi \(\overrightarrow {AM}  = 2\overrightarrow {AB}  - 3\overrightarrow {AC} \); \(\overrightarrow {DN}  = \overrightarrow {DB}  + x\overrightarrow {DC} \). Tìm \(x\) để các véc tơ \(\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {MN} \) đồng phẳng.

Bảng biến thiên trong hình dưới là của hàm số nào trong các hàm số đã cho?

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình \(3\cos x - 1 = 0\) trên đoạn \(\left[ {0;4\pi } \right]\) là

Có bao nhiêu giá trị nguyên không âm của tham số \(m\) sao cho hàm số \(y =  - {x^4} + \left( {2m - 3} \right){x^2} + m\) nghịch biến trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\)?

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x + 2\) cắt đường thẳng \(y=m-1\) tại 3 điểm phân biệt.

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\), mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?

Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2}{\left( {x + 2} \right)^3}\left( {2x - 3} \right)\). Tìm số điểm cực trị của \(f(x)\).