Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x + y - 2z - 2 = 0,\) đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z + 3}}{2}\) và điểm \(A\left( {\frac{1}{2};1;1} \right)\). Gọi \(\Delta\) là đường thẳng nằm trong mặt phẳng \((\alpha)\), song song với d đồng thời cách d một khoảng bằng 3. Đường thẳng \(\Delta\) cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {{x^2} - 2x} \right),\)với mọi \(x \in R\).Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số \(y = f\left( {{x^2} - 8x + m} \right)\)có 5 điểm cực trị?

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + y - z - 2 = 0.\) Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), đồng thời vuông góc và cắt đường d?

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên.

Mệnh đề nào sau đây đúng về hàm số đó?

Trong  không gian Oxyz, cho điểm M(1;2;3). Hình chiếu của M lên trục Oy là điểm

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R, chiều cao bằng h. Biết rằng hình trụ đó có diện tích toàn phần gấp đôi diện tích xung quanh. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông,AB = BC = a. Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (ACC') và (AB'C') bằng 60 độ(tham khảo hình vẽ bên). Thể tích của khối chóp B'.ACC'A' bằng

Gọi \({z_1},{z_2}\) là các nghiệm phức của phương trình \({z^2} - 8x + 25 = 0.\) Giá trị của \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right|\) bằng

Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, \(AB = AA' = a\) (tham khảo hình vẽ bên). Tính tang của góc giữa đường thẳng BC' và mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right).\)

Tích phân \(\int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {3x + 1} }}dx} \) bằng

Cho đồ thị \(\left( C \right):{x^3} - 3{x^2}.\) Có bao nhiêu số nguyên \(b \in \left( { - 10;10} \right)\) để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm \(B\left( {0;b} \right)?\)

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x - z - 3 = 0\) và điểm M(1;1;1). Gọi A là điểm thuộc tia Oz, B là hình chiếu của A lên \(\left( \alpha \right)\). Biết rằng tam giác MAB cân tại M. Diện tích của tam giác MAB bằng

Cho hình hộp đứng \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bên \(AA' = h\) và diện tích của tam giác ABC bằng S. Thể tích của khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) bằng: 

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, tâm O, SO = a (tham khảo hình vẽ bên).

Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD) bằng

Trong không gian Oxyz, cho điểm \(M\left( {1;{\rm{ }}0; - 1} \right).\) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua M và chứa trục Ox có phương trình là

Giả sử \({z_1},{z_2}\) là hai trong số các số phức z thỏa mãn \(\left| {iz + \sqrt 2 - i} \right| = 1\) và \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 2.\)Giá trị lớn nhất của \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\) bằng:

Giả sử a, b là các số thực dương bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây sai?

Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật OMNP với \(M\left( {0;10} \right),N\left( {100;10} \right)\) và \(P\left( {100;0} \right)\)Gọi S là tập hợp tất cả các điểm \(A\left( {x;{\rm{ }}y} \right),\left( {x,{\rm{ }}y \in R} \right)\)nằm bên trong (kể cả trên cạnh) của OMNP. Lấy ngẫu nhiên một điểm \(A\left( {x;y} \right) \in S.\) Xác suất để \(x + y \le 90\) bằng

Trong không gian Oxyz, một véctơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l} x = 2t\\ y = - 1 + t\\ z = 1 \end{array} \right.\) là:

Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40 cm. Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm của viên gạch đế tạo ra bốn cánh hoa (được tô màu sẫm như hình vẽ bên). Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng:

Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Giả sử súc sắc xuất hiện mặt b chấm. Xác suất để phương trình \({x^2} + bx + 2 = 0\) có hai nghiệm phân biệt là